二次函数与幂函数典型例题含答案完整版

二次函数与幂函数典型
例题含答案
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
二次函数与幂函数
1．求二次函数的解析式．
2．求二次函数的值域与最值．
3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．
【复习指导】
本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．
基础梳理
1．二次函数的基本知识
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.
①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，
f(x)
＝；
min
②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，
f(x)
＝.
max
③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.
(3)二次函数的解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．幂函数
(1)幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
第一象限一定有图像且过点（1，1）；
第四象限一定无图像；
当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；
第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．
两种方法
二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：
(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；
(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．
两种问题
与二次函数有关的不等式恒成立问题：
(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是
双基自测
1．下列函数中是幂函数的是( )．
A．y＝2x2B．y＝
C．y＝x2＋x D．y＝－
2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．
A．f(1)≥25B．f(1)＝25
C．f(1)≤25D．f(1)＞25
3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．
A．(－1,1)B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．(2011·陕西)函数的图象是( )．
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x
，则x1＋x2＝________.
2
考向一求二次函数的解析式
【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．
【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．
考向二幂函数的图象和性质
【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．
A．－1＜m＜3 B．0
C．1 D．2
【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.
考向三二次函数的图象与性质
【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．
【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )．
A．y＝2x2B．y＝
C．y＝x2＋x D．y＝－
解析A，C，D均不符合幂函数的定义．
答案B
2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．
A．f(1)≥25B．f(1)＝25
C．f(1)≤25D．f(1)＞25
解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，
∴f(1)＝9－m≥25.
答案A
3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．
A．(－1,1)B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.
答案C
4．(2011·陕西)函数的图象是( )．
解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.
答案B
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x
，则x1＋x2＝________.
2
解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3x1＋x2＝6.
答案 6
考向一求二次函数的解析式
【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．
[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．
解依题意得
解得：∴f(x)＝x2＋2x.
设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x
＝－x，y0＝－y.
∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，
∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，
即g(x)＝－x2＋2x.
二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．
【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．
解法一利用二次函数的一般式．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解之得
∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二利用二次函数的顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，
∵f(2)＝f(－1)．
∴此二次函数的对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8，
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，
解之得a＝－4.
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
考向二幂函数的图象和性质
【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．
A．－1＜m＜3 B．0
C．1 D．2
[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．
解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，
又m∈Z，∴m＝0,1,2.
∵m2－2m－3为偶数，
经验证m＝1符合题意．
答案C
根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．
【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.
解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.
答案±1
考向三二次函数的图象与性质
【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．
[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．
解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，
(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，
当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；
当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；
(2)若0≤a＜1，则
当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；
当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；
(3)若1≤a＜2，则
当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；
(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；
当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.
解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：
①顶点固定，区间固定；
②顶点含参数，区间固定；
③顶点固定，区间变动．
【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．
解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a ＜b＜n.
答案m＜a＜b＜n
考向四有关二次函数的综合问题
【例4】设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．
解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.
∴或
或
∴或或
∴a≥1或＜a＜1或，即a＞；
当a＜0时，解得a∈；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，
∴不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是a＞.
含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．
【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，
∴
∴
∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.
所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.
规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．
【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．
【示例】(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．
求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．
[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，
∴抛物线顶点坐标为.(1分)
①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)
②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，
f(x)取最大值为－4a.
令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，
∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，
令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，
解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)
综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.
∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)
求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．
【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
[尝试解答] ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．
当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y
min ＝－1.
综上，g(a)＝。