《算法设计与分析》第08章

8.3.2 回溯法求解
解结构形式：可变长度元组和固定长度元组。 可变长度元组（x0,,xk1,xk ），0k<n。元组的 每个分量的取值可以是元素值，也可以是选入子集 的正数的下标。 固定长度n-元组（x0,x1,,xn1），xi{0,1}, 0i<n。 xi=0，表示wi未选入子集，xi=1，表示wi入选子集。
如：地图着色问题 、四色猜想
8.4.2 回溯法求解
设无向图G=(V,E)采用如下定义的邻接矩阵a表示：
1 a [ i ][ j ] 0 如果( i, j ) E 其它
解的形式：n-元组(x0,x1,,xn－1), xi{1，…，m}, 0i<n，表示结点i的颜色，这就是 显式约束。xi=0表示没有可用的颜色。因此解空间 的大小为mn。 隐式约束可描述为：如果边(i,j)E，则 xixj。
else if (s+w[k]+w[k+1]<=m)//搜索左子树 SumOfSub(s+w[k], k+1, r-w[k], x, m, w); if ((s+r-w[k]>=m)&&(s+w[k+1]<=m)) { //搜索右子树 x[k]=0; SumOfSub(s, k+1, r-w[k], x, m, w); } } void SumOfSub (int* x, int n, float m, float* w) { float r=0; for(int i=0;i<n;i++) r=r+w[i]; //初时化r, 应有r≥m if(r>=m && w[0]<=m) SumOfSub(0, 0, r, x, m, w); }
例 0/1背包问题
M，n；wi, pi (x0,x1,x2,x3)
显示约束：xi∈{0，1} 隐式约束： ∑ xiwi≤M 目标函数： ∑ xipi
第1层 第2层 第3层 0 1 0
当n=3时对应的状态空间 树 树中总结点数2n
0
1
1 0 1 0 1 1 0 1
第3层
0Baidu Nhomakorabea
例 0/1背包问题
元素a0,a1,…,an-1排序问题
皇后问题 可用n-元组（x0, x1,…, xn1）表示n-皇后问题的解， 其中xi表示第i行的皇后所处的列号(0≤xi＜n)。 显式约束的一种观点是：Si={0, 1, …, n1}，0≤i＜n。 相应的隐式约束为：对任意0≤i, j＜n，当ij时，xixj 且。此时的解空间大小为nn。 另一种显式约束的观点是：Si={0, 1, …, n1}，0≤i ＜n，且xi xj(0≤i, j＜n, ij)。相应的隐式约束为： 对任意0≤i, j＜n，当ij时，。与此相对应的解空间 大小为n!。
例8－3 设有n=6个正数的集合W=(5,10,12,13,15,18)和整数 M=30，求W的所有元素之和为M的子集。
8.4 图的着色
8.4.1 问题描述
已知无向图G=(V,E)和m种不同的颜色，如果只允 许使用这m种颜色对图G的结点着色，每个结点着一 种颜色。问是否存在一种着色方案，使得图中任意 相邻的两个结点都有不同的颜色。这就是m-着色判 定问题（m-colorability decision problem）
约束函数：对所有i和j，0i,j<k，ij，若a[i][j]=1， 则xixj。
8.4.3 图着色算法
【程序8－6】 图的m着色算法 template <class T> void MGraph<T>::NextValue(int k,int m,int *x) { //确定分量x[k]的取值。[1,m]。x[k]初始值=0 do { x[k]=(x[k]+1) % (m+1); //尝试下一种颜色 if (!x[k]) return; //没有可用颜色 for (int j=0; j<k; j++) //可行判定 if (a[k][j] && x[k] == x[j]) break; if (j==k) return; //成功 } while (1); }
使用剪枝函数的深度优先生成状态空间树中结点 的求解方法称为回溯法（backtracking）； 广度优先生成结点，并使用剪枝函数的方法称为 分枝限界法（branch-and-bound）。
【程序8－1】递归回溯法 Void RBacktrack(int k) {//应以Rbacktrack(0)调用本函数 for (每个x[k],使得 x[k]T(x[0],,x[k-1]) &&(Bk(x[0],,x[k])){ if ( (x[0],x[1],,x[k])是一个可行解) 输出 (x[0],x[1],,x[k]); RBacktrack(k+1); } }
解向量（x1,x2,…,xn-1), 显示约束：xi∈{0,1,…,n-1}且 xi≠xj (i≠j) 隐式约束： xi≤xj (i ≤ j) 无目标函数
(13,24,09) 树中总结点数n!
8.1.2剪枝函数和回溯法
为了提高搜索效率，在搜索过程中使用约束函数 （constraint function），可以避免无谓地搜索那些 已知不含答案状态的子树。 如果是最优化问题，还可使用限界函数（bound function）剪去那些不可能包含最优答案结点的子 树。约束函数和限界函数的目的是相同的，都为了 剪去不必要搜索的子树，减少问题求解所需实际生 成的状态结点数，它们统称为剪枝函数（pruning function）。
8.1 一般方法
8.1.1 基本概念
解以向量形式表示：(x0,x2,…,xn-1) 规 定 每 个 xi 取 值 的 约 束 条 件 称 为 显 式 约 束 （explicit constraint）。 对给定的一个问题实例，显式约束规定了所有 可能的元组(候选解)，它们组成问题的候选解集， 被称为该问题实例的解空间（solution space）。 隐式约束（implicit constraint）给出了判定一 个候选解是否为可行解的条件。
且 wi xi wk M
i 0
k 1
w0,w1,…,wk-1,wk,wk+1,…,wn-1 x0,x1,…,xk-1,xk,xk+1,…,xn-1 xk=0?
下面令
s wi xi , r wi
i 0 i k
k 1
n 1
s—部分和 r—剩余和
8.3.3 子集和数算法
void NQueens(int k,int n,int *x) { for (int i=0; i<n;i++) { if (Place(k,i,x)) { x[k]=i; if (k==n-1) { for(i=0;i<n;i++) cout<<x[i]<<" "; cout<<endl; } else NQueens(k+1,n,x); } } }
目标函数，也称代价函数（cost function），用来 衡量每个可行解的优劣。使目标函数取最大（或最 小）值的可行解为问题的最优解。 状态空间树（state space）是描述问题解空间的树 形结构。树中每个结点称为一个问题状态 （problem state）。如果从根到树中某个状态的路 径代表了一个作为候选解的元组，则称该状态为解 状态（solution state）。如果从根到某个解状态的 路径代表一个作为可行解的元组，则称该解状态为 答案状态(answer state)。
皇后问题的状态空间树是一棵排列树。排列树有n! 个叶结点，遍历排列树的时间为(n!)。
4皇后问题对应的排列图
8.2.3 n-皇后算法
【程序8-4】 n-皇后问题的回溯算法 bool Place(int k, int i,int* x) //xk=i是否可行 {//判定两个皇后是否在同一列或在同一斜线上 for (int j=0;j<k;j++) if ((x[j]==i) || (abs(x[j]-i)==abs(j-k))) return false; return true; } void NQueens(int n,int *x) { NQueens(0,n,x); }
“十一五”国家级规划教 材
电子工业出版社
算法设计与分析
DeSign and Analysis of Algorithms In C++
陈慧南 编著
第2部分 算法设计策略
第8章 回溯法
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
一般方法 n-皇后 子集和数 图的着色 哈密顿环 0/1背包 批处理作业调度
【程序8－5】子集和数的回溯算法 void SumOfSub (float s, int k, float r, int* x, float m, float* w) //s—部分和 r—剩余和 { x[k]=1; if (s+w[k]==m) { //得到一个可行解 for (int j=0;j<=k;j++) cout<<x[j]<< ' '; cout<<endl; }
8.1.3 回溯法的效率分析
状态空间树种总结点数为：2n,n!, nn
p(n)是n的多项式，是生成一个结点所需的时间
回溯算法的最坏情况时间复杂度可达O(p(n)n!) （或O(p(n)2n)或O(p(n)nn)）。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo）。这种估计方法的 基本思想是在状态空间树中随机选择一条路径(x0, x1,…, xn1)。设X是这条随机路径上，代表部分向量 (x0, x1,…, xk1)的结点，如果在X处不受限制的孩子 数目是mk，则认为与X同层的其他结点不受限制的 孩子数目也都是mk。 整个状态空间树上将实际生成的结点数估计为 m = 1+m0+m0m1+m0m1m2+
【程序8-3】 蒙特卡罗算法 int Estimate(SType* x) { int k=0,m=1,r=1; do { SetType S={ x[k]| x[k]T(x[1],,x[k1]) && Bk(x[1],,x[k]==true)}； if (!Size(S)) return m; r=r*Size(S);m=m+r; x[k]=Choose(S);k++; }while(1); }
称这种从n个元素的集合中找出满足某些性质的 子集的状态空间树为子集树。子集树有2n个解状态， 遍历子集树的时间为Ω(2n)。
约束函数： （约定wi为正数按升序排列） Bk(x0,x1,,xk) 为true，当且仅当 xk=1
k 1 i 0
wi xi wi M
i k
n1
8.3 子集和数
8.3.1 问题描述
已知n个不同正数wi ，0in-1，的集合，求该集合 的所有满足条件的子集，使得每个子集中的正数之 和等于另一个给定的正数M。 例8－2 设有n=4个正数的集合 W={w0,w1,w2,w3}=(11,13,24,7)和整数M=31，求W的 所有满足条件的子集，使得子集中的正数之和等于M。
4皇后问题的两个可行解
其中一个可行解的回溯过程
实际生成的树结点
8.2.4 时间分析
可通过蒙特卡罗法计算5次试验中实际需要生成 的结点数的平均值为1625。8-皇后问题状态空间树 的结点总数是：
1 ( 8 i ) 109601
j 0 i 0 7 j
因此，需要实际生成的结点数目大约占总结点数 的1.55%。
函数size返回集合S的大小；函数Choose从集合S中随机选择一个
8.2 n-皇后
8.2.1 问题描述
n-皇后问题要求在一个nn的棋盘上放置n个皇后， 使得它们彼此不受“攻击”。 n-皇后问题要求寻找 在棋盘上放置这n个皇后的方案，使得它们中任何两
个都不在同一行、同一列或同一斜线上。
8.2.2 回溯法求解
部分向量(x[0],,x[k-1]) 代表从根到一个问题状态Y的路径 T(x[0],,x[k-1]) 代表xk所有可能取值 约束函数 Bk(x[0],,x[k])
【程序8-2】 迭代回溯法 Void IBacktrack(int n) { int k=0; while (k>=0){ if (还剩下尚未检测的x[k]，使得x[k] T(x[0],,x[k-1]) && Bk(x[0],,x[k]){ if ( (x[0],x[1],,x[k])是一个可行解) 输出(x[0],x[1],,x[k]); k++; } else k--; } }