定比分点

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定比分点定义

对于轴上两个已给的点Ｐ，Ｏ，它们的坐标分别为Ｘ１，Ｘ２，在轴上有一点Ｌ，可以使ＰＬ/ＬＯ等于已知常数λ。即ＰＬ/ＬＯ＝λ，我们就把Ｌ叫做有向线段ＰＯ的定比分点。若设Ｌ的坐标为Ｘ，则Ｘ＝（Ｘ１+λＸ２）/（１+λ）,Y＝（Y１+λY ２）/（１+λ）

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定比分点相关概念

1.线段的定比分点及λ：

P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。

P点位置与λ的关系

以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况

①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0）

②P与P1重合，λ=0

③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）

*i. P在P1与原点之间，即P1P＜PP2，λ∈（0，1）

*ii. P与原点重合，即P1P=PP2，λ=1

*iii. P在原点与P2之间，即P1P＞PP2，λ∈（1，+∞）

④P与P2重合，λ∈Φ

⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1）

2 定比分点公式：

若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2

即P1P=λPP2

由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y）

∴（x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）

∴定比分点公式为，

λ=（x-x1）/（x2-x）

λ=（y-y1）/（y2-y）

3.定比分点坐标公式：

∴λ=（x-x1）/（x2-x）

∴λx2-λx=x-x1

λx2+x1=λx+x

得，x=（λx2+x1）/（λ+1）

同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）

注：当λ=1时，即中点坐标公式。

定比分点定理

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证明

定比分点补充公式

补充公式证明

已知线段PQ上有一点T,且PT/PQ=a,AB是与PQ无交点的一条线段，则S(AT B)=a*S(ABQ)+(1-a)*S(ABP)

其中S(AQB)表示AQB的面积，以此类推。

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证明

记ABPQ的面积为S,则

S(TAB)=S-S(PAT)-S(QBT)

=S-a*S(PAQ)-(1-a)*S(PQB)

=S-a*(S-S(QAB))-(1-a)*(S-S(PAB))

=S-a*S-(1-a)*S+a*S(QAB)+(1-a)*S(PAB)

=a*S(QAB)+(1-a)*S(PAB)

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定比分点补充公式

若线段PQ与直线AB交于M,T在线段PM上且PT=a*PQ,则

S(TAB)=(1-a)*S(PAB)-a*S(QAB)

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补充公式证明

由共边比例定理知

S(PAB)/PM=S(TAB)/TM=S(QAB)/QM

故

[S(PAB)-S(TAB)]/[S(TAB)+S(QAB)]=PT/TQ

=a/(1-a)

解得S(TAB)=(1-a)*S(PAB)-a*S(QAB)

定比分点公式

定比分点公式多用于向量计算,是高中数学中常用的公式之一

在直角坐标系内,已知两点A(x1,y1),B(x2,y2);在两点连线上有一点P,设它的坐标为(x,y),且线段AP比线段PB的比值为λ,那么我们说P分有向线段AB的比为λ 且P的坐标为

x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ)

y=(y1 + λ · y2) / (1 + λ)

定比分点公式的特殊情况

中点公式：

已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，设两点中点为P（x，y）

则x=(x1+x2)/2；y=(y1+y2)/2 .

三角形重心公式：

已知三角形ABC [A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）]，设三角形重心为G（x, y）

则x=(x1+x2+x3)/3；y=(y1+y2+y3)/3

分点的不同情况

当P为内分点时,λ>0;

当P为外分点时,λ<0(λ≠-1);

当P与P1重合时,λ=0;

当P与P2重合时λ不存在

注意：λ表示的是起点A到P与P到末点B的比值

就像在中点公式中AP比PB为1所以λ 等于1

是一条长线段分成2小段后2个小段之间的比值，不是占一条线段的几分之几