(完整版)染色问题的计数方法

染色问题的计数方法

河北张家口市第三中学王潇

与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。

一、区域染色问题

1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。

例1要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？

分析先给西

藏

青海

云南

四川

四川染色有4种方

法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种

2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。

例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？

分析 依题意至少要

12

3

4

5图2选用3种颜色。 （1） 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，

区域3与5必须同色，有34A 种。

（2） 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区

域3与5不同色，有44

A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44

A 种，故用四种颜色时共有244A 种。 由加法原理可知满足题意的着色方法共有3

4A ＋244

A ＝24＋2×24＝72种。

3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形

的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。

例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四

个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的

颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

12

34

图3

（1）四格涂不同的颜色，方法数为45A ；

（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格

涂相同颜色，涂法种数为2124

5C A ； （3）

两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为25A 。因此，所求的涂法种数为45A ＋21245C A ＋25A ＝260种

3. 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论

例4 如图4，一个六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用A B

C

D E F 图4同一颜色，现有 4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。

解： （1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4×3×3×3＝108种方法

（2）当相间区域A 、C 、E 着两种不同颜色时，有2243C A 种

着色方法，此时B 、D 、F 有3×2×2种着色方法，故共有224

3C A ×3×2×2＝432种着色方法。

（4） 当相间区域A 、C 、E 着三种不同颜色时，有34

A 种着色方法，此时

B 、D 、F 各有2种着色方法，此时共有34

A ×2×2×2＝192种方法。 故总计有108＋432＋192＝732种方法

二 点染色问题

点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。

例5 将一个四棱锥S －ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条

棱的两端点异色，如果只有5种颜色可

供使用，那么不同的染色方法的总数是

多少？

解法1 满足题设条件的染色至少要

用三种颜色

（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 、B 、C 、D

四点，，此时只能A 与C ，B 与D 分别同色，故有124

5C A ＝60种方法。

（2） 若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于

A 、

B 颜色可以交换，故有24

A 种染法；再从余下的两种颜色种任选一种染D 或C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶

点同色即可，故有11124522

C C C A ＝240中方法。 （3） 若恰用五种颜色，有55

A ＝120种染法。综上，满足题意的染色方法数为60＋240＋120＝420种。

解法2 设想染色按S －A －B －C

－D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有

5×4×3＝60种染色方法。由于C 点的

颜色可能与A 同色或不同色，这影响到

D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），

D 与A 、C 、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法数是60×7＝420种

评注 图中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为例5来解决。您不妨一试。

（1） 用五种颜色给图中的5个车

站的候车牌A 、B 、C 、D 、E 染色，

要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法（图6）

（2） 如图7所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？

三、线段染色问题，要注意对各条线段依次讨论，主要方法

有：

（1） 根据共用了多少种颜色分类讨论；

（2） 根据相对的线段是否同色分类讨论。

例6 用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD 的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法（图8） 解法1 （1）使用四种颜色有44

A 种； （2）使用三种颜色染色，则必须将

一组对边染成同色，故有1

12342C C A 种； （3） 使用两种颜色时，则两组对边

必须分别同色，有24

A 种。 因此，所求的染色方法数为44

A ＋112342C C A ＋24A ＝84种 解法2 染色按AB-BC-CD-DA 的顺序进行，对A

B 、B

C 染色有4×3＝12种染色方法。

由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：

当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择；当CD 与AB 不同色时，CD 有2种可供选择的颜色，DA 有2种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法数为12×7＝84种。利用相同的方法可解决例7

例7 中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自4个单位，分别在图9中4个区域内坐定。有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那

么不同的着色方法

例8 用六种颜色给正四面体A －BCD 的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法（图10）

分析 正四面体有三组对棱AB 与CD 、AC 与BD 、AD 与BC 。满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

解 （1）若恰用三种颜色染色，则每组对棱必须染同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36

A 种方法。 （2） 若恰用四种颜色染色，则三组对棱中有两组对棱的组

内对棱同色，但组与组之间不同色，故有4

236A C 种方法。 （3）若恰用五种颜色染色，则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色，故有51

36A C 种方法。

（4） 若恰用六种颜色染色，则有6

6

A 种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数为

36A ＋5

136A C ＋66A ＝4080种

B

C

四面染色问题

例9 （1996年全国高中数学联赛题）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？

（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）

分析显然，至少需要三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论。

解根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。

（1）用了六种颜色，确定某种颜色（例如红色）所染面为下底（根据题注，对此处的两种不同染色方案，这里的“第一面”总是相同的），则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余3个面有3！种染色方案，根据乘法原理n1＝5×3！＝30种

（2）用了五种颜色，选定五种颜色有5

C＝6种方法，必有

6

两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2＝5

C×

6

5×3＝90

（3）用了四种颜色，仿上分析可得n3＝42

C C＝90

64

（4）用了三种颜色，n4＝3

C＝20

6

故总的染色方案有n＝n1＋n2＋n3＋n4＝230种。