与染色有关的计数问题(免费)

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高中数学 与染色有关的计数问题 一、对区域染色问题——合并单元格法 1、（2003·全国）如图1，一个地区分为5个行政区域，现

给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种

颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）．

解：本题中 可合并成一个单元格，分类如下： 着四色：1

424C A ；着三色：34A ；共有72种． 2、（2003·天津）将3种作物种植在如图2的5块试验田里，

每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不

同的种植方法共有 种（以数字作答）．

解：（种植问题可看成着色问题）

可合并成一个单元格，共有7种不同搭配，∴共有3377642A =⨯=．

3、如图3，一个正六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现

给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两

个区域不得使用同一颜色，现有4种不同的颜色可供选择，

则有多少种不同的着色方法？

解：按相间区域A 、C 、E 染色情况分类如下：

（1）染同一色：4×3×3×3=108种；

（2）染两种不同颜色：()

2234322432C A ⨯⨯⨯=种； （3）染三种不同颜色：34222192A ⨯⨯⨯=种，共有108+432+192=732种．

练习：如图4，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳

光的七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂

在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多是（ ）

A 、40320种

B 、5040种

C 、20160种

D 、2520种 解：1676125202

C A =，选

D ， 区别：图3中的各区域均有编号，视为不同的区域，而图4中的6个空白区域视为相同的元素．

4、（2003·江苏）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部

分（如图5），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻

部分不能栽种同一样颜色的花，不同的栽种方法有 种

（以数字作答）．

解：颜色相同的部分可能有 ，不可能出现三部分同色，不同的搭配情形有5种，∴共有445120A

⨯=种． 另解：等价转化： 图

图图231112231,366554

55

分步：先涂1区，有4种涂法，再用剩余3种颜色涂右图2中的

其它5个区域，此时需分两类情况：

（1）6，3涂同一色：再涂2区，最后涂4，5区，共有223212A ⨯⨯=种；

（2）6，3涂不同色：再涂2区，最后涂4，5区，共有()2312118A ⨯⨯+=种；

由分步计数原理：共有4×（12+18）=120种．

5、用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格

内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以

反复使用，共有多少种不同的涂色方法．

解：涂2色：2520A =；涂3色：1325120C A =；涂4色：45120A =，∴共有20120120260++=种．

二、对点染色问题

6、（2005·江苏）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓

库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）

（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0

解：如图：4个仓库放8种产品安全存放有

“18，25，36，47”，“17，28，46，35”两种可能， ∴共有44

248A =种． 7、将一个四棱锥S —ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解：涂3色：3560A =；涂4色：1425240C A =；

涂5色：55120A =，∴共有60240120420++=种．（与第5题解法类似）

三、对线段染色问题

8、用六种颜色给正四面体A —BCD 的每条棱染色，要求每条棱只染

一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法．

解：依题意：正四面体的对棱可染同一色或不同色．

涂3色：36A ；涂4色：2436C A ；涂5色：1536C A ；涂6色：6

6A ，∴共有4080种．

四、对面染色问题

9、从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）． （1996年全国高中数学联赛）

解：根据共用了多少种不同的颜色分类如下：

（1）共用6种颜色：确定某色（如红色）所染面为下底，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余三个面有3！种染色方案，由乘法原理n 1= 5×3!=30；

（2）共用5种颜色：选定5种颜色：56C ，必有两相对面为同色，确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）， ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧