与染色有关的计数问题(免费)
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高中数学 与染色有关的计数问题
一、对区域染色问题——合并单元格法
1、(2003·全国)如图1,一个地区分为5个行政区域,现
给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种 颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答).
解:本题中
可合并成一个单元格,分类如下: 着四色:1424C A ;着三色:34A ;共有72种. 2、(2003·天津)将3种作物种植在如图2的5块试验田里,
每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不
同的种植方法共有 种(以数字作答).
解:(种植问题可看成着色问题)
可合并成一个单元格,共有7种不同搭配,∴共有3377642A =⨯=.
3、如图3,一个正六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ,现
给这6个区域着色,要求同一区域染同一种颜色,相邻的两
个区域不得使用同一颜色,现有4种不同的颜色可供选择,
则有多少种不同的着色方法?
解:按相间区域A 、C 、E 染色情况分类如下:
(1)染同一色:4×3×3×3=108种;
(2)染两种不同颜色:()
2234322432C A ⨯⨯⨯=种; (3)染三种不同颜色:34222192A ⨯⨯⨯=种,共有108+432+192=732种.
练习:如图4,某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳
光的七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内,且恰有一种颜色涂
在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多是( )
A 、40320种
B 、5040种
C 、20160种
D 、2520种 解:1676125202
C A =,选
D , 区别:图3中的各区域均有编号,视为不同的区域,而图4中的6个空白区域视为相同的元素.
4、(2003·江苏)某城市中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部
分(如图5),现要栽种4种颜色的花,每部分栽种一种且相邻
部分不能栽种同一样颜色的花,不同的栽种方法有 种
(以数字作答).
解:颜色相同的部分可能有 ,不可能出现三部分同色,不同的搭配情形有5种,∴共有445120A ⨯=种.
另解:等价转化:
分步:先涂1区,有4种涂法,再用剩余3种颜色涂右图2中的
其它5个区域,此时需分两类情况:
(1)6,3涂同一色:再涂2区,最后涂4,5区,共有223212A ⨯⨯=种; 图1
图2 图3 2,4 3,5
1,3 1,4 1,5 2,4 2,5 3,5 1,3,5
6,3 6,4 5,2
5,3 4,2 1 4 56 2 3 图1 54 3 2 6 图2
(2)6,3涂不同色:再涂2区,最后涂4,5区,共有()2312118A ⨯⨯+=种;
由分步计数原理:共有4×(12+18)=120种.
5、用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格
内,每格涂一种颜色,相邻的两格涂不同的颜色,如果颜色可以
反复使用,共有多少种不同的涂色方法.
解:涂2色:2520A =;涂3色:1325120C A =;涂4色:45120A =,∴共有20120120260++=种.
二、对点染色问题
6、(2005·江苏)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓
库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )
(A )96 (B )48 (C )24 (D )0
解:如图:4个仓库放8种产品安全存放有 “18,25,36,47”,“17,28,46,35”两种可能, ∴共有44248A =种. 7、将一个四棱锥S —ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供
使用,那么不同的染色方法的总数是多少?
解:涂3色:3560A =;涂4色:1425240C A =;
涂5色:55120A =,∴共有60240120420++=种.
(与第5题解法类似) 三、对线段染色问题
8、用六种颜色给正四面体A —BCD 的每条棱染色,要求每条棱只染
一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色,问有多少种不同的染色方法.
解:依题意:正四面体的对棱可染同一色或不同色.
涂3色:36A ;涂4色:2436C A ;涂5色:1536C A ;涂6色:66
A ,∴共有4080种. 四、对面染色问题
9、从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面染色,每两个具有公共棱的面染成不同
的颜色,则不同的染色方案共有多少种?(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). (1996年全国高中数学联赛)
解:根据共用了多少种不同的颜色分类如下:
(1)共用6种颜色:确定某色(如红色)所染面为下底,则上底颜色可有5种选择,在上、下底已染好后,再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面,则其余三个面有3!种染色方案,由乘法原理n 1= 5×3!=30;
(2)共用5种颜色:选定5种颜色:56C ,必有两相对面为同色,确定为上、下底面,其颜色可有5种选择,
再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有3种选择(前后面可通过翻转交换),
∴n 2= 56C ×5×3= 90;
(3)共用4种颜色:仿上分析可得,42
36490n C C ==;
(4)共用3种颜色:34620n C ==; ∴共有30909020230n =+++=种. ① ②
③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
⑧