10.4染色问题的计数方法

染色问题的计数方法

基础知识

1．(2003年全国新课程卷15题)

某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有_____种．（以数字作答） 方法一 分类法

解：

① 首先栽种第1部分，有1

4C 种栽种方法；

②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示）， 对扇形2有3种栽种方法， 扇形3有2种栽种方法， 扇形4也有2种栽种方法， 扇形5也有2种栽种方法，

扇形6也有2种栽种方法．于是，共有4

32⨯种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从4

32⨯中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。 综合①和②，共有

1412433[32(2211)]4(4818)430120C C A ⋅⨯-⨯⨯+⨯⨯=⨯-=⨯=种栽法。 [当然此式中的12332211C A ⨯⨯+⨯⨯=18也可以直接用（1）中的公式算出：即

432463m m m m -+-=432343633318-⨯+⨯-⨯=]

(2001年全国高中数学联赛第12题)

在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一

种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有 ____种栽种方案．

以A 、C 、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：

①． A 、C 、E 栽种同一种植物，有4种栽法；B 、D 、F 各有3种栽法， ∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。,,A C E 栽种2种作物，有2222

4

3

C C A

种栽法，, 2

4

C

是种4作物选种两种，23

C

是,,A C E 3个区域中选出2个区域栽种同一

种作物，

22

A

是选出的两种作物的排列

②．B 、D 、F 共有3×2×2 种栽法（：若A 、C 栽种同一种植物，则B 有3 种栽法，D 、F 各有2种栽法），共有

222

2

4

3

322432C C A ⨯⨯⨯=种栽法

③．A 、C 、E 种3种植物，有34A 栽法；B 、D 、F 各有2种栽法，∴ 共有 3

4A ×2×2×2＝

192 种栽法。

综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。 方法二 递推法

上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n （n 为偶数）个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即 以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。

那么，“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n （n 为奇数）个扇形，用m 种不同的颜色对 这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多 少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？

分析： 对 扇形P 1有m 种涂色方法， 扇形P 2有m －1种涂色方法， 扇形P 3也有m －1种涂色方法， …………

扇形P n 也有m －1种涂色方法．

于是，共有1(1)n m m -⋅-种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P 1与P n 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从1(1)n m m -⋅-中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n －1（n －1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（３）中给出了解题思路。

下面，就让我们把这种解题思路应用于

3、拓展

上面，我们分别就n 为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。

那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？ [n 为不小于3的整数]

分析： 设n a 为符合要求的对n 个扇形的涂色方法。

对 扇形P 1有m 种涂色方法，

扇形P 2有m －1种涂色方法， 扇形P 3也有m －1种涂色方法， …………

扇形P n 也有m －1种涂色方法． 于是，共有1

(1)

n m m -⋅-种不同的涂色方法。但是，n a ≠1

(1)

n m m -⋅-，因为

这种涂色方法可能出现P 1与P n 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从1

(1)

n m m -⋅-中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的

涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n －1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有1n a -种，于是，有

n a =1(1)n m m -⋅-－1n a -（n ≥3）

，①． 显然，3(1)(2)a m m m =--． 上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出n a 的通项公式：

n a =(1)(1)(1)

(3)n n m m n -+--≥．

至此，我们就找到了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n 个扇形，用m 种不同的

颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即

n a =(1)(1)(1)(n

n m m n -+--≥．

注意：上述问题中的m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。

迁移练习

1．(2003年全国高考——新课程卷·理工第15题改编)

某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_____种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_____种． （以数字作答）

2．(2001年全国高中数学联赛第12题改编)

在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有________种栽种方案．

[ 参考答案：1．1200，600； 2．732，480 ]

区域染色问题

根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。

要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？

西藏

青海云南

四川

分析 先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种