小学数学思维方法：染色问题

染色问题

【知识要点】

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意染色问题的分析思路，学会几种典型的染色方法。

【典型例题】

例1.六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？

解：画一个57⨯的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

例2.右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从A 室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A 室，问他的目的能否达到，为什么？

解：采用染色法。如右下图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A 出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A ，共走过9扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。 现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A 。

例3.右图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？

解：将这14个小方格黑白相间染色（见右上图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

例4．用11个和5个能否盖住88⨯的大正方形？

A

A

解：如右图，对88⨯的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑。

则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇

数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住。

注意：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，

因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白。这是一个容易犯错的地方。

例5.1个22⨯正方形和15个41⨯长方形能不能拼出88⨯的大正方形?请说明理由。

解： 若仍然将88⨯的大正方形黑白相间染色，则22⨯和41⨯两种形状盖住的都是两白两黑。必须寻找其他的染色方法。新的方法必须使得22⨯和41⨯长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律。采用如右图的染色方法，则：41⨯长方形必盖住两黑两白，共15个41⨯，盖住30黑30白；22⨯长方形可盖住3白1黑或3黑1白。可以发现，总共只能盖住31黑33白或31白33黑，而图中实际有32个黑格32个白格，故不可能用15个41⨯和1个22⨯的长方形盖住88⨯的大正方形。对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活。

例6.用9个14⨯的长方形能不能拼成一个66⨯的正方形？请说明理由。

解：本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要用14⨯来覆盖，我们对66⨯正方形用四种颜色染色。为了方便起见，这里用1、2、3、

4分别代表四种颜色。为了使每个14⨯长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图。这样，可以发现无论将14⨯长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个。

要不重叠地拼出66⨯，需9个14⨯长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个。但实际上图中一共是9个1、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个14⨯长方形拼出66⨯正方形。

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433

333

333

22222

22

2

21111111

14321

练习题

1.某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?

2.下图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?

3.下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

4.用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！