弹塑性力学第08章详解
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2018/7/31
dx dy ly mx n x dn y dn
9
§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0): 法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
o y MT
MT
x
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足； 而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣 维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求 合力为零 合力矩为
dy y
n
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
由于
则
dx dy l cos( n, x) dn ds dx dy
n x dn y dn l x
m
dy dx m cos( n, y ) dn ds
y
代入侧面边界条件
2018/7/31 11
§8-1 位移法求解
源自文库
x KG x( y ) x( x) dxdy y y x x
l( y ) m( x) 0 x y A zx dA KG A ( x y)dA 2 = 0 2 KG ( y x )dA
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为 扭曲函数。
2018/7/31 3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz , （工程）应变分量： w= K(x,y)
u v u v w x 0, y 0, z 0, xy y x 0 y z x
u w zx K Ky K ( y) z x x x v w zy K Kx K ( x) z y y y
Y 0 l xy m y n zy 0
满足
Z 0 l zx m zy n z lGK ( y) mGK ( x) x y
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§8-1 位移法求解
上式也可以用
o
MT
-dx
x
l( y ) m( x) 0 x y
2018/7/31
X dA 0
A
Y dA 0
A
(Yx Xy)dA M
A
z
10
§8-1 位移法求解
上式也可以表示为
zy dA 0
A
A
zx
dA 0
A
( zx y zy x)dA M z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主 要边界上力边界条件满足时， 则 A zx dA 0和 A zy dA 0 自然满足。见以下：
zx z 0 x y z zy
GK ( 2 2 ) 0 x y
2 2
或
2
= 0
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。 扭曲函数(x,y)除了满足 要满足边界条件， 2 = 0,还需
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
2018/7/31
7
§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界） 在侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) MT 面力：
o
X Y Z 0
X i n j ij
x
y MT
z
X 0 l x m xy n zx 0
利用格 林公式
KG x ( y )l ( x)m ds 0 s y x
2018/7/31
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG ( x y x y )dA M z A y x
2 2
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
2018/7/31 4
§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx GK ( y) x
zy GK ( x) y
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
2018/7/31
5
§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。 两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 位移法求解 按应力函数求解 薄膜比拟 等截面杆扭转按应力函数举例 薄壁杆的自由扭转
2018/7/31
1
在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT） 应力：x=y=z=xy=0 ，
小结：
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数 (x,y)和单位扭转角K。
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§8-1 位移法求解
在V上 由 l ( y) m( x) 0在杆侧边上 求(x,y)
2
= 0
y
x
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
GK ( x y x y )dA M z ——求K A y x 2 2
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 , K为单位长扭转角。
MT K GI
2
2018/7/31
对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
dx dy ly mx n x dn y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0): 法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
o y MT
MT
x
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足； 而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣 维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求 合力为零 合力矩为
dy y
n
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
由于
则
dx dy l cos( n, x) dn ds dx dy
n x dn y dn l x
m
dy dx m cos( n, y ) dn ds
y
代入侧面边界条件
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§8-1 位移法求解
源自文库
x KG x( y ) x( x) dxdy y y x x
l( y ) m( x) 0 x y A zx dA KG A ( x y)dA 2 = 0 2 KG ( y x )dA
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为 扭曲函数。
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§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz , （工程）应变分量： w= K(x,y)
u v u v w x 0, y 0, z 0, xy y x 0 y z x
u w zx K Ky K ( y) z x x x v w zy K Kx K ( x) z y y y
Y 0 l xy m y n zy 0
满足
Z 0 l zx m zy n z lGK ( y) mGK ( x) x y
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§8-1 位移法求解
上式也可以用
o
MT
-dx
x
l( y ) m( x) 0 x y
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X dA 0
A
Y dA 0
A
(Yx Xy)dA M
A
z
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§8-1 位移法求解
上式也可以表示为
zy dA 0
A
A
zx
dA 0
A
( zx y zy x)dA M z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主 要边界上力边界条件满足时， 则 A zx dA 0和 A zy dA 0 自然满足。见以下：
zx z 0 x y z zy
GK ( 2 2 ) 0 x y
2 2
或
2
= 0
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。 扭曲函数(x,y)除了满足 要满足边界条件， 2 = 0,还需
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
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§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界） 在侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) MT 面力：
o
X Y Z 0
X i n j ij
x
y MT
z
X 0 l x m xy n zx 0
利用格 林公式
KG x ( y )l ( x)m ds 0 s y x
2018/7/31
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG ( x y x y )dA M z A y x
2 2
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
2018/7/31 4
§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx GK ( y) x
zy GK ( x) y
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
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§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。 两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 位移法求解 按应力函数求解 薄膜比拟 等截面杆扭转按应力函数举例 薄壁杆的自由扭转
2018/7/31
1
在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT） 应力：x=y=z=xy=0 ，
小结：
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数 (x,y)和单位扭转角K。
2018/7/31
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§8-1 位移法求解
在V上 由 l ( y) m( x) 0在杆侧边上 求(x,y)
2
= 0
y
x
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
GK ( x y x y )dA M z ——求K A y x 2 2
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 , K为单位长扭转角。
MT K GI
2
2018/7/31
对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解