微积分的创立

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler ，1707—1783）作出的。欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》（Introductio in Anclysin infinitorum ）以及他随后发表的《微分学》（Institutionis Calculi differentialis ，1755）和《积分学》（Institutiones Calculi integralis ，共3卷，1768—1770）是微积分史上里程碑式的著作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：

()f x e i --∑------函数符号

求和号

自然对数底

虚数号

等等，对分析表述的规范化起了重要作用。

欧拉出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，13岁就进入巴塞尔大学，数学老师是约翰。伯努利。师生之间建立了极亲密的关系，伯努利后来在给欧拉的一封信中这样赞许自己这位学生在分析方面的青出于兰：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而您正在将它带大成人。” 欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼德堡科学院（1727—1741；1766—1783）和德国柏林科学院（1741—1766）度过的。他对彼德堡科学院怀有特殊的感情，曾将自己的科学成就归功于“在那儿拥有的有利条件”。

欧拉是历史上最多产的数学家。他生前发表的著作与论文有560余种，死后留下了大量手稿。欧拉自己说他未发表的论文足够彼德堡科学院用上20年，结果是直到1862年即他去世80年后，彼德堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作。1911年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70多卷，计划出齐84卷，都是大四开本。欧拉从18岁开始创作，到76岁逝世，因此单是收进全集的这些文稿，欧拉平均每天就要写约1。5页大四开纸的东西，而欧拉还有不少手稿在1771年的彼德堡大火中化为灰烬。欧拉28岁左眼失明，56岁双目失明，他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作。

与牛顿不同，欧拉一生结过两次婚，是13个孩子的父亲。1783年9月的一天，欧拉在与同事讨论了天王星轨道计算以后疾病发作，喃喃自语道：“我要死了！”如巴黎科学院秘书孔多塞（M 。Condorcet ）形容的那样，他“停止了计算，也停止了生命。”

18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。

约翰。伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法。

欧拉在1744年处理弹性问题时得到积分

2

0t x x dx s a αβγ++=⎰这属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是

（） （其中P x （）是x 的有理函数，R x （）

则是一般的四次多项式）。欧拉就特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。

虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。

1720年，尼古拉。伯努利（Nicolaus Bernoulli II 1687—1759）证明了函数f x y （，）在一定条件下，对x y ，求偏导数其结果与求导顺序无关。欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。

1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为c δ的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：

()3/2222cdxdy

c c x y δ++⎰⎰ 积分区域由22

221x y a b

+=围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。 18世纪通过研究发散级数获得了一个重要常数“欧拉常数”γ，是欧拉讨论如何用对数函数来逼近调和级数的和时得到的，它最简单的表示形式为：

111lim 1log 23n n n γ→∞⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭

L

欧拉曾计算出γ的近似值0577218。，但迄今我们还不能判定γ究竟是有理数还是无理数。 18世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象。这一转折首先也应归功于欧拉，欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。 函数概念在17世纪已经引入，牛顿《原理》中提出的“生成量”就是雏形的函数概念。莱布尼兹首先使用了“函数”（function ）这一术语。他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”。最先将函数概念公式化的是约翰。伯努利。欧拉则将伯努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：

“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。”

欧拉的函数定义在18世纪后期战占据了统治地位。在这一定义的基础上，函数概念本身大大丰富了。欧拉在《引论》中明确区分了代数函数与超越函数，将超越函数看成是以无限多次算术运算而得到的表达式，也就是说可用无穷级数表示的函数。欧拉还区分了显函数与隐函数、单值函数与多值函数等。通过一些积分问题的求解，一系列新的超越函数被纳入了函数的范畴。除了上面已提到的椭圆积分外，18世纪得到的最重要的超越函数还有Γ函数和B 函数： ()()()10011101log 11n n x m n n n x dx x e dx B m n x x dx

∞

---Γ+==-==--⎰⎰⎰（）！（，）