正弦函数、余弦函数的单调性与奇偶性

3 5 2
2 3
2

3 2
2
5 2
3
x
和单调递减区间应该怎样表示呢？
y cos x
3 5 2
2 3
2
xR


y
1
O

2
余弦函数呢
2

1
3 2
2
5 2
3
x
成果展示
y sin x
xR
y cos x
x
结论
[ 2 k , 2k ]( k Z ) 正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数， 2 2 ———————— 3 其值从-1增大到1；正弦函数在每一个闭区间 [ 2k , 2k ]( k Z ) 2 2 ———————— 上都是减函数，其值从1减小到-1.
（2） f ( x) cos( 2 x)

探索新知2
单调性
y sin x xR


y
1
2
O

2
通常选取区间 [ 2 , 2 ]和[ 2 , 2 ] 作为参考区间 利用周期性，那么它在定义域R内的单调递增区间
1 观察正弦函数的图像，指出它的 一个 单调增区间和减区间 3
CHANGCHUNSHIDIERSHIYANZHONGXUE
正余弦函数的图像与性质
-----奇偶性与单调性
长春市第二实验中学
教学目标
1.理解正、余弦函数的奇偶性、 单调性的意义；
2.会求简单函数的奇偶性、单调性;
复习回顾
4
2
y
x
o
2
4
6
y
4
2
o
2
4
x
y=sinx y=cosx
R
[1, 1]
y=sinx y=cosx
探索新知1
奇偶性
y sin x
3 5 2
2 3
2
xR


y
1
O

2
2

1
3 2
2
5 2
3
x
y cos x
3 5 2
2 3
2
xR


y
1
O

2
2

1
3 2
2
5 2
3
x
观察正弦函数余弦函数的图像，判断它们具有怎样的对称性？
5 5 （2）因为 ，所以 sin sin 6 3 6 3
（3）y=sinx在第一象限是增函数
x） 在 - 2 , 2
（（4）y sin
是增函数
例题解析
例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组 数的大小。
(1) sin

18
与 sin
3 7 k x k 8 8

k Z

, k
所以： 单调增区间为 [k
3 ] k Z 8 8 3 7 , k ] k Z 单调减区间为 [k 8 8
课堂小结
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）

10
23 17 (2) cos( )与 cos( ) 5 4
例2.求下列函数的单调区间： y=3sin(2x) 4 解： 2 k


2
2x
wenku.baidu.com

4
2 k

2
k Z
3 k Z k x k 8 8 3 2k 2 x 2k k Z 2 4 2
[2k ,2k ](k Z ) 其值从-1增大到1；余弦函数在每一个闭区间
k ,2k ](k Z ) 上都是增函数， 余弦函数在每一个闭区间[2 ————————
————————
上都是减函数，其值从1减小到-1 .
辨明是非
试判断下列说法是否正确？并说明理由 （1）y=sinx和y=cosx都是单调函数
(3) y=1+sinx
x∈R
2：求下例函数的单调区间 x 1) y sin( )增区间 6 2
3) y 2
sin(2 x ) 4

单调区间。
看图说话
y sin x
3 5 2
2 3
2
xR


y
1
O

2
2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数图像关于原点对称
奇函数
y cos x
3 5 2
2 3
2
xR


y
1
2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数图像关于y轴对称
偶函数
+2k, +2k],kZ 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 2 2
单调递增 单调递减 单调递增
余弦函数 偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
单调递减
作业布置
1：判断函数奇偶性
(1) y=-sin3x x∈ R (2) y=|sinx|+|cosx| x∈R
动起来 思考：能否从奇偶性定义出发，证明这个判断的正确性？ 以f(x)=sinx为例 证明：定义域为R 又 f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x) ∴f(x)=sinx是奇函数 余弦函数是偶函数，那你会证明了吗？
一起动口说一 说吧
成功体验
说出下列函数的奇偶性
练一 练
（1） f ( x) sin( x )