向量组的线性关系

第十讲 向量组的线性关系

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求

（1）理解n 维向量的概念；

（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；

（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲．

二、知识要点

引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？

线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m ααα），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m ααα中向量

的个数．

（2）齐次方程组Ax o =⎧⎨

⎩唯一零解

无穷解（有非零解）

，o 是向量．

1．线性组合（线性表示）

定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,

,m βααα，如果存在数12,,

,m k k k ，使关系式成立

1122m m

k k k βααα=++

+

则称β是向量组12,,

,m ααα的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m ααα线性表示：

注意1

（1）线性组合（或线性表示）对12,,

,m k k k 没有要求，可以全为零；

（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m ααα线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个

具体表示就是Ax β=有一个特解．

（4）表示式可以不惟一，但若12,,

,m ααα线性无关时，表示式惟一；

（5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e 线性表示；

（6）向量组12,,

,m ααα中每个向量都可由自身向量组线性表示：

111

00100j j j j m αααααα-+=⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅

定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,

,s ααα中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββ线性表示，

而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）（II ）．

向量组的等价具有

① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）（I ）；

② 对称性：若（I ）（II ），则（II ）（I ）；

③ 传递性：若（I ）（II ），（II ）

（III ），则（I ）

（III ）．

注意 2 记()12,,

,s A ααα=，()12,,t B βββ=，则

（1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,

,s ααα线性表示的推广．

（2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B ==

（3）若向量组（I ）：12r ααα，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，

21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关；

（4）若向量组（I ）：12r ααα，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，

21线性表

示

，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤； 这是（3）的逆否命题．

向量组（I ）：12r ααα，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，

21线性表示，则必有r s ≤；反之不成立

２．线性相关与线性无关

定义3 线性相关与线性无关 给定向量组（I ）：12,,

,m ααα，如果存在不全为零的数12,,

,m k k k ，使

1122m m k k k o ααα++

+=

则称向量组（I ）是线性相关的，否则称它线性无关．

例如：由于23⎛⎫ ⎪⎝⎭=210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭，即210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭=o ，向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭

是

线性相关的．而向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量组100⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

均是线性无关的．

注意3

(1）单位坐标向量组12,,

,n e e e 是线性无关的；

(2）含有零向量的向量组线性相关； (3）单个非零向量线性无关；

(4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例． 证明如下：

(1）单位坐标向量组12,,

,n e e e 是线性无关的．

证 由1k 100⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

+2

k 010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

++n k 00

1⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭=o ，有12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

=o

故1k =2k =

=n k =0，故向量组12,,

,n e e e 是线性无关． (2）含有零向量的向量组12,,,m ααα，o 线性相关．

证 120001m o o ααα⋅+⋅+

+⋅+⋅=

(3）单个非零向量线性无关．