4.1向量组的线性组合和线性相关性

线性表示的充分必要条件是：
矩阵A=（

）的秩等于矩阵B=（
，b）的秩
2.向量组B:
能由向量组A：
线性表示充要条件是
矩阵A=（ （
）的秩等于矩阵（A,B）= ）
的秩，即R(A)=R(A,B)
推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是： R(A)=R(B)=R(A,B)
3.设向量组B：
能由向量组A：
R（
一定线性相关，特别的n+1个n维向量也一定线性相关
3. 设向量组A：
线性无关，而向量组B：
线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且唯一表示
对于定理2.1：可以简单记为小的线性相关，大的才线性相关 大的线性无关，小的才线性无关
线性相关性定 义和定理
已知
讨论
及向量组 线性相关性
解：
可见R(
)=2，故向量组
）≤R（
）
线性表示，则：
3个定理
•设
证明向量 组
与向量组
证明:证出 R(A)=R(B)=R(A,B)即可
等价。
容易看出R（B）≤R(A,B)=2
R(A)=2
所以R(A)=R(B)=R(A,B)
因此证明向量 组
与向量组
等价。
线性组合例题
• 定义：给定向量组A： 使：
如果存在不全为0的数 则称向量组A是线性相关的
• 定理1：向量组A：
线性相关的充分必要条件是它
所构成的矩阵A=（
）的秩小于向量个数m；
向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
线性相关性定义 和定理
• 定理2：
1. 若向量组A：
线性相关，则向量组B：
也线性相关。反之，B线性无关，A也线性无关
2. m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，
向量组
•线性组合定义 •线性组合3个定理 •线性相关性定义 •线性相关定理 •例题
• 给定向量组A：
对于任何一组实数
称为向量组A的一个线性组合， 数
表达式： 为系
• 给定向量组A：
和向量组b，如果存在一组数
使
则向量b使向量组A的线性组合，这时称
向量b能有向量组A线性表示
线性组合定义
1. 向量b能由向量组A：
线性相关，
同时R( )=2, 故向量组 线性无关
例题