§3.2 向量组及其线性组合
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第三章 向量组的线性相关性
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
线性方程组的解的判定 向量组及其线性组合 向量组的线性相关性 向量组的最大无关组与秩 线性方程组解的结构 向量空间
§3.2 向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
定理3.6 向量组B: 1, 2, , s 能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示的充要条件是 矩阵 A=(1, 2, , m ) 的秩等于矩阵 (A, B)=(1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩,
n 维向量写成一行, 称为行向量. T (a1,a2 , ,an ) 通常用T, T, T, 或 aT, bT, cT, 等表示.
列向量可通过转置变为行向量.
列向量可写为: (a1,a2, ,an )T .
元素全为零的向量称为零向量. 记作 0 (0,0, ,0) 或 0 (0,0, ,0)T .
1
1
1 1
例1
设
1
1 2
,2
2 1
,
3
1
,b
0
,
4 3
2
3
0 1
问: 向量 b 能否由向量组1,2,3 线性表示?
若能, 求出表示式.
解 记 A ( 1 ,2,3 )
B
(
A,
b)
1 1
2
2
1 2 1 3
1 1 4 0
10 3 1
r
1 0 0 0
0 1 0 0
二、向量组与矩阵
1. 若干个同维数的列 (行) 向量组成的集合叫做列 (行) 向量组．
2. 一个mn矩阵A=(aij)的每一列都可看成一个m维列向
量, 记 A (1,2 , ,m ), 向量组 1, 2, , m 称为矩阵A的列向量组.
3.一个mn矩阵A=(aij)的每一行都可看成一个n维行向量,
向量组 B 能由向量组 A 线性表示
即有 j k1 j1 k2 j2 kmjm , 记矩阵 A (1,2 , ,m ) , B (1, 2 , , s ) ,
K
(kij )ms
k11 k21
km1
k12 k22
km2
k1s k2s
,
kBiblioteka Baidus
则有 B AK , 矩阵K 称为这一线性表示的系数矩阵.
四、等价向量组
定义3.3 设有两个向量组
A : 1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , s ,
若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示, 就称向向量组 B 能由向量组 A 线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示, 则称向量 组 A 与B 等价.
设有两个向量组 A : 1,2, ,m 及 B : 1, 2, , s .
T 1
记
A
T 2
,
T m
向
量
组
T 1
,
T 2
,
,
T m
称为
矩阵 A的行向量组.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量 的向量组；反之, 一个含有限个向量的向量组总 可以构成矩阵.
如: 由n个m维列向量可以构成一个mn矩阵. 由m个n维行向量也可以构成一个mn矩阵.
4. 线性方程组 A mn x = 0 的全体解, 当R(A) < n 时 是一个含无限多个n维列向量的向量组．
即 :向量 b 可以向由量组 1 ,2 线性表示.
方程组 Ax b 有解当且仅当 b可由 A的列向量组线性表示.
定理3.5 向量 b 能由向量组 1, 2, , m 线性表 示的充分必要条件是 矩阵 A = (1, 2, , m ) 的 秩等于矩阵 B = (1, 2, , m, b ) 的秩.
k1, k2, , km 称为这个线性组合的组合系数.
给定向量组 A :1, 2, , m 和向量b,
若存在一组数1,2 , ,m ,使 b 11 2 2 m m
则称向量 b 能由向量组 A 线性表示．
例如:
给定向量组
A
: 1
1 2 3
,2
1 3 1
和向量
b
021,
则有: b 1 2,
说明 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
当没有明确说明是行向量还是列向量时, 所指向 量都当作列向量. 2. 行、列向量都是特殊的矩阵； 向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算.
3. 设 (a1,a2, ,an )T , (b1,b2, ,bn )T 则 ai bi ,(i 1,2, n).
本章我们先讨论只含有限个向量的向量组, 以后再 推广到含无限多个向量的情形．
三、向量组的线性组合与线性表示
定义 3.2 给定向量组 A :1, 2 , , m , 对于任何
一 组实数 k1, k2 , , km ,
向量
k11 k22 kmm
称为向量组1, 2 , , m 的一个线性组合 ,
线性方程组
a21x1a22 x2 a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
设 j (a1 j , a2 j , , amj )T ( j 1,2, , n)
b (b1 , b2 , , bm )T ,
1 x1 2 x2 ... n xn b
—— 线性方程组的向量表示
一、n 维向量
1. 定义3.1 n 个有序的数 a1, a2, , an 所组成的数组 称为 n 维向量 , 第 i 个数称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量.
2. n 维向量的表示方法 n 维向量写成一列, 称为列向量.
a1 a2
通常用, , , 或 a, b, c, 等表示. an
若有矩阵 C = AB, 则: 1)矩阵 C 的列向量组能由矩阵A的列向量组 线性表示, 且矩阵B 为这一线性表示的系数矩阵.
2) 矩阵 C 的行向量组能由矩阵B的行向量组 线性表示, 且矩阵A 为这一线性表示的系数矩阵.
• 若矩阵A与B 行等价, 则 A与B的行向量组等价. • 若矩阵 A与B 列等价, 则 A与B的列向量组等价.
3 2 0 0
2 1 0 0
R( A) R( A,b) 2,
即 :向量 b 可以向由量组 1,2,3 线性表示.
x1 3c 2,
由上可求得方程组Ax=b的通解:
x2
2c
1,
(c R).
x3 c,
表示式为:b (3c 2)1 (2c 1)2 c3 , (c R).
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
线性方程组的解的判定 向量组及其线性组合 向量组的线性相关性 向量组的最大无关组与秩 线性方程组解的结构 向量空间
§3.2 向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
定理3.6 向量组B: 1, 2, , s 能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示的充要条件是 矩阵 A=(1, 2, , m ) 的秩等于矩阵 (A, B)=(1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩,
n 维向量写成一行, 称为行向量. T (a1,a2 , ,an ) 通常用T, T, T, 或 aT, bT, cT, 等表示.
列向量可通过转置变为行向量.
列向量可写为: (a1,a2, ,an )T .
元素全为零的向量称为零向量. 记作 0 (0,0, ,0) 或 0 (0,0, ,0)T .
1
1
1 1
例1
设
1
1 2
,2
2 1
,
3
1
,b
0
,
4 3
2
3
0 1
问: 向量 b 能否由向量组1,2,3 线性表示?
若能, 求出表示式.
解 记 A ( 1 ,2,3 )
B
(
A,
b)
1 1
2
2
1 2 1 3
1 1 4 0
10 3 1
r
1 0 0 0
0 1 0 0
二、向量组与矩阵
1. 若干个同维数的列 (行) 向量组成的集合叫做列 (行) 向量组．
2. 一个mn矩阵A=(aij)的每一列都可看成一个m维列向
量, 记 A (1,2 , ,m ), 向量组 1, 2, , m 称为矩阵A的列向量组.
3.一个mn矩阵A=(aij)的每一行都可看成一个n维行向量,
向量组 B 能由向量组 A 线性表示
即有 j k1 j1 k2 j2 kmjm , 记矩阵 A (1,2 , ,m ) , B (1, 2 , , s ) ,
K
(kij )ms
k11 k21
km1
k12 k22
km2
k1s k2s
,
kBiblioteka Baidus
则有 B AK , 矩阵K 称为这一线性表示的系数矩阵.
四、等价向量组
定义3.3 设有两个向量组
A : 1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , s ,
若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示, 就称向向量组 B 能由向量组 A 线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示, 则称向量 组 A 与B 等价.
设有两个向量组 A : 1,2, ,m 及 B : 1, 2, , s .
T 1
记
A
T 2
,
T m
向
量
组
T 1
,
T 2
,
,
T m
称为
矩阵 A的行向量组.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量 的向量组；反之, 一个含有限个向量的向量组总 可以构成矩阵.
如: 由n个m维列向量可以构成一个mn矩阵. 由m个n维行向量也可以构成一个mn矩阵.
4. 线性方程组 A mn x = 0 的全体解, 当R(A) < n 时 是一个含无限多个n维列向量的向量组．
即 :向量 b 可以向由量组 1 ,2 线性表示.
方程组 Ax b 有解当且仅当 b可由 A的列向量组线性表示.
定理3.5 向量 b 能由向量组 1, 2, , m 线性表 示的充分必要条件是 矩阵 A = (1, 2, , m ) 的 秩等于矩阵 B = (1, 2, , m, b ) 的秩.
k1, k2, , km 称为这个线性组合的组合系数.
给定向量组 A :1, 2, , m 和向量b,
若存在一组数1,2 , ,m ,使 b 11 2 2 m m
则称向量 b 能由向量组 A 线性表示．
例如:
给定向量组
A
: 1
1 2 3
,2
1 3 1
和向量
b
021,
则有: b 1 2,
说明 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
当没有明确说明是行向量还是列向量时, 所指向 量都当作列向量. 2. 行、列向量都是特殊的矩阵； 向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算.
3. 设 (a1,a2, ,an )T , (b1,b2, ,bn )T 则 ai bi ,(i 1,2, n).
本章我们先讨论只含有限个向量的向量组, 以后再 推广到含无限多个向量的情形．
三、向量组的线性组合与线性表示
定义 3.2 给定向量组 A :1, 2 , , m , 对于任何
一 组实数 k1, k2 , , km ,
向量
k11 k22 kmm
称为向量组1, 2 , , m 的一个线性组合 ,
线性方程组
a21x1a22 x2 a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
设 j (a1 j , a2 j , , amj )T ( j 1,2, , n)
b (b1 , b2 , , bm )T ,
1 x1 2 x2 ... n xn b
—— 线性方程组的向量表示
一、n 维向量
1. 定义3.1 n 个有序的数 a1, a2, , an 所组成的数组 称为 n 维向量 , 第 i 个数称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量.
2. n 维向量的表示方法 n 维向量写成一列, 称为列向量.
a1 a2
通常用, , , 或 a, b, c, 等表示. an
若有矩阵 C = AB, 则: 1)矩阵 C 的列向量组能由矩阵A的列向量组 线性表示, 且矩阵B 为这一线性表示的系数矩阵.
2) 矩阵 C 的行向量组能由矩阵B的行向量组 线性表示, 且矩阵A 为这一线性表示的系数矩阵.
• 若矩阵A与B 行等价, 则 A与B的行向量组等价. • 若矩阵 A与B 列等价, 则 A与B的列向量组等价.
3 2 0 0
2 1 0 0
R( A) R( A,b) 2,
即 :向量 b 可以向由量组 1,2,3 线性表示.
x1 3c 2,
由上可求得方程组Ax=b的通解:
x2
2c
1,
(c R).
x3 c,
表示式为:b (3c 2)1 (2c 1)2 c3 , (c R).