向量组的线性组合ppt课件

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b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
6
定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
a11x1 a12x2 a1mxm b1
x1a1 x2a2 xm am b
a21x1 a22x2 a2mxm b2
an1x1 an2x2 anmxm bn 讨论： 上述线性方程组在什么情况下有解？
提示： 线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b
有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。
例3．零向量是任何一组向量的线性组合。
这是因为o=0a1 0a2 0 am 注意：对k1，k2， ，km未加任何限制；特别是未限制 k1，k2， ，km不全为零。 例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量i(1im)都是
2 3
2x1
- 3x2
6x3
-1
解此线性方程组
-xx11
- x2 2x2
2x3 - 3x3
2 3
2x1 - 3x2 6x3 -1
∵增广矩阵 1 -1 2 2
（a1a2a３b ） -1 2 - 3 3
2
-3
6
-1
1 0 0 7
0 1 0 5
0
0
1
0
因为线性方程组有解，所以b 可由a1，a2 ，a３线性表示
性组合。
这是因为aa1e1 a2e2 an en。 向量组e1，e2， ，en称为n维单位向量组或n维基本向量组
结论：任何一个n维向量a(a1, a2, , an)都可由n维单位向 量组或n维基本向量组线性表示
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1 0 0
例：设
E
e1 , e2 , e3
0
1
0
0 0 1
e1, e2, e3的 线性组合
的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程
组 x1a1T x2a2T xm amT bT有解。 ➢➢➢
推论：
（1） n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示 秩(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b)
（2） n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示 秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T amT bT)
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。
例2．任何一个n维向量a(a1, a2, , an) T都是n维向量组 e1(1, 0, , 0) T ，e2(0, 1, , 0) T ， ，en(0, 0, , 1) T的线
定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。 。
例1．设 a1(1, 0, 0)，a2(0, 1, 0)，a3(0, 0, 1)，则 ∵b2a1-a2a3 2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1) (2, -1, 1)，
b(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的一个线性组合， 也就是b可由a1，a2 ，a3线性表示。 注意（：1）向量组a1，a2 ，a3 的线性组合有无穷多个
（2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示；
也有可能不能由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示。
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定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
向量组的线性组合ppt课件
(一)、向量组的线性组合
1。向量组： 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成
的集合称为向量组．
2。向量组的线性组合与线性表示
定义1 对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0 0
0
b2
0
1
0
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
Байду номын сангаас
bn
0
bn 0 0 0
1
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2
1
-1
2
例5 设 b 3 ,a1 -1,a2 2 ,a3 - 3
-1
2
-
3
6
判断向量b是否为向量组a1 ，a2 ， a３ 的线性组合。
若是，写出表示式。
解：设x1a1x2a2 x３a３b 由此可得线性方程组
-xx11
- x2 2x2
2x3 - 3x3
又因解为x1７， x2５ ， x３０
所以 b ７a1５a2 ０a３
例6．判断向量b1(4, 3, -1, 11) T与b2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组a1(1, 2, -1, 5) T，a2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。
此向量组的线性组合。
这是因为ai0a1 1ai 0 am 。
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3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法：
定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示
的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组
x1a1 x2a2 xm am b
有解。 ➢➢➢
即矩阵(a1 a2 am)与矩阵(a1 a2 am b)的秩相等。
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3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法：
定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示
的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程
组 x1a1 x2a2 xm am b有解。 ➢➢➢ 定理′ n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示