3.2.2向量组的线性组合

1 2 3
唯一表示
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5
3.2.2向量组的线性组合
例3.12 已知 1 1,0, 2,3T ,2 1,1,3,5T , 3 1, 1, a 2,1T , 4 1, 2, 4, a 8T , 1,1,3,b 5T , 试问：
(1) a, b 取何值时， 不能由1,23,4 线性表示？
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3.2.2向量组的线性组合
j k1 j 1 k2 j 2
ktj t 1, 2 ,
k1 j
,
t
k2
j
ktj
k11 k12
k1s
1 , 2 ,A
,s
1, 2,B
,
t
k21
k22
K
k2
s
kt1 kt2
k1, k2, , ks , 称 k11 k22 kss 为向量组T的一个线性组合.
组合系数
定义3.6（向量的线性表示） 给定向量组T ：1,2, ,s和向量 若存在一组数k1, k2, , ks , 使得 k11 k22 kss 成立， 称向量 是向量组T的线性组合 可由向量组T 线性表示.
0
b
a 1
0
0
1 0
0 1
0 0
1
2b a 1
0
a
b
1
1
1
2b a 1
2
03
a
b
1
4
0
0
0
1
b a 1
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3.2.2向量组的线性组合
定义3.7（等价向量组） 两个向量组 T1 :1,2, ,s; T2 : 1, 2, , t ,
若向量组T1 中每一个向量 j 都可以由向量组 T2 : 1,2 ,,t 线性
第三章 线性方程组
3.2.2向量组的线性组合
3.2.2向量组的线性组合 方程组的向量形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
......
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
，
1 2
a11 a12
A=
a21
a22
am1 am2
0 1 0 2 0 s
零向量可以表示成任何向量组1,2, ,s 的线性组合
j 0 1 1 j 0 s
向量组1,2, ,s 中任一向量均可由该向量组线性表示
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4
3.2.2向量组的线性组合
例3.11 设有四个向量 0, 4, 2,5T ，1 1, 2,3,1T ，2 2,3,1, 2T ，
7
3.2.2向量组的线性组合
当 a 1 时， 有唯一解， 能由1,23,4表示
1 1 1 1 1
1
r3 r2
0
0 r4 2r2
0
1 1 0 0
111 1 2 1 a 1 0 0 0 a 1 b
a11r3 a11r4
0 0
0
1 0
0
1 2 10
01
1
0
a
b 1
1
0
0
(2) a, b 取何值时， 可以由1,23,4 线性表示，写出表示式.
解： 设有数 k1, k2 , k3, k4 使得 k11 k22 k33 k44
1 1 1 1 1
A (1
2
3
4
)
0
2
1 3
1 2 a2 4
1
3
3
51
a8
b
5
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6
3.2.2向量组的线性组合
n b
a1n b1
a2n
b2
amn bm
x11 x22 xnn b
是否有解相当于是否存在一组数
k1, k2 , , kn
向量关系式 k11 k22 knn b
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1
3.2.2向量组的线性组合 定义3.5（线性组合） 给定向量组T： 1,2, ,s , 对任意一组实数
1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
rr304223rr11
01 03
3
05
1 1 2
1 a 1
1
2a
2
2 4 a
2 2
8a
1 3 5b
1
1
b52
r3 r2 r4 2r2
0 0 0
1 0 0
1 2
1
a 1 0 0
0
a 1 bBiblioteka Baidu
(1) 当 a 1 且 b 0 时，无解， 不能由1,23,4表示 (2) 当 a 1 且 b 0 时，有无穷解， 能由1,23,4表示
表示时称向量组 T1 可由向量组 T2 线性表示. 若向量组 T1 与向量组 T2 可以相互线性表示时，称向量组 T1 与向 量组T2 等价.
分析： T1 可由T2 线性表示 BX = A，即：
j k1 j 1 k2 j 2
ktj t 1, 2 ,
k1 j
,
t
k2
j
ktj
？ k11 k22 kss
x11 x22 xss
有解？
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2
定理3.3 能由向量组 T ：1,2, ,s , 线性表示
方程组
x11 x22 xss
（★）
有解。具体有： 若方程组（ ★ ）有唯一解，则 可由向量组 T ：1,2, 线性表示； 若方程组（ ★ ）有无穷多解，则表示形式不唯一.
3 3,1, 2, 2T , 问向量 能否表示成 1,2,3 的线性组合？
解： 设有数 k1, k2, k3 使得 k11 k22 k33
1 2 3 0 1 0 0 1
A (1 2 3
)
2
3
3 1
1 2
4
2
0
0
1 0
0 1
1
1
1
2
2
5
0
0
0
0
方程组有唯一解 k1 1，k2 1，k3 1,
,s , 唯一
方程组 x11 x22 xss 对应的矩阵形式为：Ax β
其中 A (1,2 ,,s )，x (x1, x2 ,, xs )T .
该方程组的特点： 未知量的个数=向量组T所含向量个数； 方程个数=向量组T中向量的维数
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3
3.2.2向量组的线性组合
易知 ：1 1,0,0, ,0T ,2 0,1,0, ,0T , ,n 0,0,0, ,1T , a1, a2, , an T a11 a2 2 an n n维基本单位向量组
1
A
0
0
0
1 1 0 0
11 1 2 00 00
1
1
1
r1 r2
0
0
0
0
0
0 1 0 0
2 1 0
1 2
1
k3 c1
k4 c2
0 0 0
0
0
0
k1 2c1 c2
(2c1 c2 )1 (1 c1 2c2 )2 c13 c24
k2 1 c1 2c2
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