高一第一学期数学-基本不等式及其应用

基本不等式的应用

1．(2013·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )

A ．9 B.92 C ．3 D.322

解析 ∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0.

而(3－a )＋(a ＋6)＝9，

由基本不等式得：

(3－a )＋(a ＋6)≥2

（3－a ）（a ＋6）， 即9≥2

（3－a ）（a ＋6）， ∴（3－a ）（a ＋6）≤92，并且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号． 答案 B

2．(2013·山东，12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大

值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )

A ．0

B ．1 C.94 D ．3

解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0

得x 2－3xy ＋4y 2z ＝1≥2x 2·4y 2－3xy z

， 即xy z

≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立， 又x ，y 为正实数，故x ＝2y .

此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，

所以2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1y －12＋1， 当1y ＝1，即y ＝1时，2x ＋1y －2x 取得最大值为1，故选B.

答案 B

3．(2012·福建，5)下列不等式一定成立的是( )

A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)

B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )

D.1x 2＋1

>1(x ∈R ) 解析 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ； 取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；

取x ＝0，则

1x 2＋1

＝1，故排除D.应选C. 答案 C

4．(2011·重庆，7)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )

A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 ∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ， 又∵a >0，b >0，

∴2y ≥5＋24a b ·b

a ＝9，

∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．

答案 C

5．(2011·上海，15)若a ，b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是( )

A ．a 2＋b 2>2ab

B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2

解析 由ab >0，可知a 、b 同号．当a <0，b <0时，B 、C 不成立；当a ＝b 时，由不等式的性质可知，A 不成立，D 成立．

答案 D

6．(2014·上海，5)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2.

答案 2 2

7．(2013·天津，14)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．

解析 因为a ＋b ＝2，所以a ＋b 2·12|a |＋|a |b ＝a ＋b 22|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a

4|a |＋1，

当a >0时，a 4|a |＋1＝54，12|a |＋|a |b ≥54；当a <0时，a 4|a |＋1＝34，12|a |＋|a |b ≥34，当

且仅当b ＝2|a |时，等号成立．

因为b >0，所以原式取最小值时b ＝－2a .

又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值．

答案 －2

8．(2011·湖南，10)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析 ∵x ，y ∈R 且xy ≠0，

∴(x 2＋1y 2)·(1x

2＋4y 2) ＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2

≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y 2＝4x 2y 2，即xy ＝±22时，取得最小值9.

答案 9

9．(2011·浙江，16)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．

解析 依题意有(2x ＋y )2

＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22， 得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.

当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105.

答案 2105