材料力学 第三章剪切
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解：（1）角钢承受的总载荷 F pbL
（2）每个螺栓的剪力 Q F pbL 22
（3）螺栓所受的名义剪应力
τ Q pbL / 2 2 pbL
A d 2 / 4 d 2
2 2.0 0.06 0.15 3.14 0.0152
50.96(MPa)
20
（4）单个螺栓与角钢间的挤压力
F pbL Pjy 2 2
冲头 板
冲模
32
t
bs 2
Fs 4F A d 2
bs
F Abs
F dh
为充分利用材料，切应力 和挤压应力应满足
F dh
2
4F
d 2
d 8h
33
小结
一、单剪切和双剪切 二、剪切实用计算的强度条件
τ Q [τ] A
三、挤压实用计算的强度条件
σ jy
Pjy A jy
[σ jy ]
34
PQ
有效挤压面 挤压应力
1 Ajy 2 hl
jy
P Ajy
95.3 MPa
[ jy ]
满足挤压强度要求。
29
18-1 试校核图示联接销钉的剪切强度。已知 P=100MPa，销钉直径d=30mm，材料的许用剪应力 [τ]=60MPa，若强度不够，应改用多大直径的销钉？
P
P 题 18-1 图
d
b
t
t
P
P
P
P
d
(a)
(b)
22 P
P
b
P
P
22
a
(c)
22
1、接头强度分析 2、铆钉的剪切与挤压强度计算
QP
τ Q 1.25 10 3 99.5N / mm 2 99.5MPa [τ]
A 42
4 Pjy P ; Ajy d t
σ jy
Pjy A jy
1.25103 42
156MPa [σ jy ]
a
P hh
P
题 18-2 图
30
c
18-2 木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm，
P=40kN。试求接头的剪切和挤压应力。
P
P 题 18-1 图
d
P
P
c
a
hh
P
P
b
题 18-2 图
31
例题
18-4 冲床的最大冲压力为400kN，冲头材料的[σ]=440MPa， 被冲剪钢板的极限剪应力τ0=360MPa，求在最大冲压力作 用下所能冲剪的圆孔的最小直径dmax，以及这时所能冲剪的 钢板的最大厚度tmax。
23
3、拉板上铆钉孔的挤压强度计算（同铆钉） 4、拉板被削弱截面的拉伸强度计算
σ P P 1.25 10 3 56.8MPa [σ] A t(b d) 2(15 4)
本接头强度足够，安全。
24
键:连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）,使轴 和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。
25
（5）螺栓与角钢间的名义挤压应力
σ jy
Pjy A jy
pbL / 2 td
pbL 2td
2.0 0.06 0.15 2 0.012 0.015
50(MPa)
21
例3 如图所示为铆接接头，板厚t=2mm，板宽b=15mm， 板端部长a=8mm，铆钉直径d=4mm，拉力P=1.25kN，材料 的许用剪切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σjy] =300MPa， 拉伸许用应力[σ]=160MPa。试校核此接头的 强度。
1、不受剪力作用
P
P
2、同螺栓杆段①、②、③ 对应半圆孔
受到螺栓挤压， 有可能导致变形过大而失效
t
t
2t2
（变成近似椭圆孔）
PP P
3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开 2 2 2
（一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此不计算）
8
第二节 剪切和挤压的的实用计算
为保证设计的安全, 必须对联接件、被联接构件进行 强度计算：
2. 螺栓截面 mn 上平均剪应力或名义剪应力
3.强度校核
τ Q P 4P
A D2 / 4 D2
τ [τ]
14
剪切和挤压的的实用计算（续）
二、 挤压的实用计算
在联接件中通常同时出现 —— 挤压应力和剪应力 但二者有明显区别
t Pjy
d
d (b)
挤压面
t Pjy
挤压面
挤压面的投影面
d t
(a)
联接件 —— 剪（切）应力，挤压应力 被联接构件—— 挤压应力 剪应力、挤压应力的分布函数很复杂，需用有限元等数值 方法计算（如挤压应力属于接触问题）。 为了方便工程，提出实用计算 —— 假定应力均匀分布，得到名义应力（平均应力）。
一、剪切实用计算
1、 算出剪力（根据静力平衡） 2 、计算名义剪应力（或平均剪应力） 3 、强度校核
2、名义剪应力是真实的平均剪应力 挤压应力—— 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区
2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
剪切和挤压的的实用计算（续）
综上所述，挤压应力公式属于真正的假定计算 许用挤压应力也是靠破坏试验确定 试验结果
[σ jy ] (1.7 - 2.0)[σ]
联接件 中通常同时出现 —— 挤压应力、剪应力 被联接构件通常只出现 —— 挤压应力
校核键的剪切强度: （1）剪切面上的剪力 取键的下半部分和轴，受力如图
MO(F) 0 Qd / 2 m
Q 2m d
27
校核键的剪切强度
剪切面的面积 A bl
切应力
Q A
2m d bl
28.6
MPa
[ ]
60
MPa
满足剪切强度要求。
28
（2）校核键的挤压强度
挤压力
取键的上半部分，受力如图
4
概 述（续）
简单典型 —— 1个螺栓、2个被联接的构件
Q Q
先研究螺栓的受力情况
5
概 述（续）
Q
Q
螺栓受力特点
1、 横截面 mn, pq 上 有作用力 Q —— 象剪刀一样，试图把螺栓从该截面处剪开称Q为剪力
(Shear force)，引起切应力（ Shear stress) 2、杆段①、②、③ 受到被联接构件的挤压（Bearing)引起挤
• 如何确定许用剪应力[τ] 对材料做剪切试验，可测得剪断时的剪应力值τb
则该材料的许用剪应力为
[τ] τb nτ
nτ —— 剪切安全因数 试验结论
塑性材料 [τ] (0.6 - 0.8)[σ]
脆性材料 [τ] (0.8 -1.0)[σ]
12
例题
Q P
13
Q P
1. 静力平衡得到 剪力 Q = P
压应力（Bearing stress)
6
概 述（续）
基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式 （1）在截面mn, pq处被剪断 （2）受挤压部分的半圆被“挤扁” （近似半椭圆） 照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况 (2)
还应当研究被联接构件有没有新的受力特点
7
概 述（续）
被联接构件受力特点
3
概 述（续）
• 两个或多个构件相连 —— 1. 用钉子、铆钉等联接 2. 焊接 3. 其它
• 本章只研究4种联接件—螺栓、销钉、铆钉、键块 • 联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点：
力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同） 问题： 1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
挤压实用计算方法： 假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
jy
P Ajy
平面接触有效挤压面面积的计算：
挤压面面积等于实际的承压面积。
hl Ajy 2
F h——平键高度
l——平键长度 h
b F
l
26
已知：d=70mm, 键的尺寸为bhl=2012100mm，力偶 m= 2 kNm,键的 [τ]=60 MPa, [σjy]=100 MPa。 求：校核键的强度。
材料力学
Mechanics of Materials
肖念新
2020年5月8日
1
第三章 剪 切
第一节 概述 第二节 剪切和挤压的实用计算
2
第一节 概 述
如果受拉构件是拼接的，除了受拉，还受什么 作用？如联接件
在被联接构件（Connective Components） 之间， 常用铆钉作为 联接件（Connector）
18
例1 如图所示联接件中，已知P=200kN，t=20mm，螺栓之 [τ]=80MPa，[σjy]=200MPa（暂不考虑板的强度），求所需螺 栓的最小直径。
P
P
P
P
2
2
t
t
P
2t2
Q
Q
PP P
22 2
(a)
P
d P 200103 50(mm)
t[ jy ] 20 200
Q P 2
A d 2
4
(设螺栓直径为 d )
Q [] A
2P d 2
[]
d 2P 2 200103 31.6(mm)
[]
80
P jy Ajy [ jy ]
P td
[ jy ]
dmin 50mm
19
例2：外载集度 p=2MPa, 角钢厚 t=12mm, 长 L=150mm, 宽 b=60mm，螺栓直径 d=15mm。 求螺栓名义剪应力和螺栓与 角钢间的名义挤压应力（忽略角钢与工字钢之间的摩擦力）
(c)
15
剪切和挤压的的实用计算（续）
A
A向
B向
B
挤压力P
剪力作用
挤压力计算
剪力Q
面 积 面 积 Ajy
挤压应力计算面积 —— 实际挤压面在垂直挤压
力方向上的投影
挤压应力
jy
Pjy Ajy
16
A
A向
Βιβλιοθήκη Baidu
B向
B
剪力Q
挤压力P 剪力作用
面积
挤压力计算 面 积 Ajy
注意：实际挤压面是半圆柱 剪应力 —— 1、计算面积是剪力的真实作用区
思考题 一、 图示拉杆接头的剪切面A和挤压面Ajy为( B )。
(A) Ａ: ab Ajy: cb (B) Ａ: ce Ajy: cd (C) Ａ: ce Ajy: ab (D) Ａ: ce Ajy: bc
35
9
剪切强度计算
1、剪力
2Q P Q P / 2
2、名义剪应力
假定剪应力均匀分布，剪力 Q 引起的剪应力为
τ Q P / 2 2P
A D2 / 4 D2
10
3、强度校核
若 [ ]
说明设计满足强度要求 否则，需重新设计，如加大螺栓直径等
[τ]——为许用剪应力
11
剪切和挤压的的实用计算（续）
（2）每个螺栓的剪力 Q F pbL 22
（3）螺栓所受的名义剪应力
τ Q pbL / 2 2 pbL
A d 2 / 4 d 2
2 2.0 0.06 0.15 3.14 0.0152
50.96(MPa)
20
（4）单个螺栓与角钢间的挤压力
F pbL Pjy 2 2
冲头 板
冲模
32
t
bs 2
Fs 4F A d 2
bs
F Abs
F dh
为充分利用材料，切应力 和挤压应力应满足
F dh
2
4F
d 2
d 8h
33
小结
一、单剪切和双剪切 二、剪切实用计算的强度条件
τ Q [τ] A
三、挤压实用计算的强度条件
σ jy
Pjy A jy
[σ jy ]
34
PQ
有效挤压面 挤压应力
1 Ajy 2 hl
jy
P Ajy
95.3 MPa
[ jy ]
满足挤压强度要求。
29
18-1 试校核图示联接销钉的剪切强度。已知 P=100MPa，销钉直径d=30mm，材料的许用剪应力 [τ]=60MPa，若强度不够，应改用多大直径的销钉？
P
P 题 18-1 图
d
b
t
t
P
P
P
P
d
(a)
(b)
22 P
P
b
P
P
22
a
(c)
22
1、接头强度分析 2、铆钉的剪切与挤压强度计算
QP
τ Q 1.25 10 3 99.5N / mm 2 99.5MPa [τ]
A 42
4 Pjy P ; Ajy d t
σ jy
Pjy A jy
1.25103 42
156MPa [σ jy ]
a
P hh
P
题 18-2 图
30
c
18-2 木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm，
P=40kN。试求接头的剪切和挤压应力。
P
P 题 18-1 图
d
P
P
c
a
hh
P
P
b
题 18-2 图
31
例题
18-4 冲床的最大冲压力为400kN，冲头材料的[σ]=440MPa， 被冲剪钢板的极限剪应力τ0=360MPa，求在最大冲压力作 用下所能冲剪的圆孔的最小直径dmax，以及这时所能冲剪的 钢板的最大厚度tmax。
23
3、拉板上铆钉孔的挤压强度计算（同铆钉） 4、拉板被削弱截面的拉伸强度计算
σ P P 1.25 10 3 56.8MPa [σ] A t(b d) 2(15 4)
本接头强度足够，安全。
24
键:连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）,使轴 和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。
25
（5）螺栓与角钢间的名义挤压应力
σ jy
Pjy A jy
pbL / 2 td
pbL 2td
2.0 0.06 0.15 2 0.012 0.015
50(MPa)
21
例3 如图所示为铆接接头，板厚t=2mm，板宽b=15mm， 板端部长a=8mm，铆钉直径d=4mm，拉力P=1.25kN，材料 的许用剪切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σjy] =300MPa， 拉伸许用应力[σ]=160MPa。试校核此接头的 强度。
1、不受剪力作用
P
P
2、同螺栓杆段①、②、③ 对应半圆孔
受到螺栓挤压， 有可能导致变形过大而失效
t
t
2t2
（变成近似椭圆孔）
PP P
3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开 2 2 2
（一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此不计算）
8
第二节 剪切和挤压的的实用计算
为保证设计的安全, 必须对联接件、被联接构件进行 强度计算：
2. 螺栓截面 mn 上平均剪应力或名义剪应力
3.强度校核
τ Q P 4P
A D2 / 4 D2
τ [τ]
14
剪切和挤压的的实用计算（续）
二、 挤压的实用计算
在联接件中通常同时出现 —— 挤压应力和剪应力 但二者有明显区别
t Pjy
d
d (b)
挤压面
t Pjy
挤压面
挤压面的投影面
d t
(a)
联接件 —— 剪（切）应力，挤压应力 被联接构件—— 挤压应力 剪应力、挤压应力的分布函数很复杂，需用有限元等数值 方法计算（如挤压应力属于接触问题）。 为了方便工程，提出实用计算 —— 假定应力均匀分布，得到名义应力（平均应力）。
一、剪切实用计算
1、 算出剪力（根据静力平衡） 2 、计算名义剪应力（或平均剪应力） 3 、强度校核
2、名义剪应力是真实的平均剪应力 挤压应力—— 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区
2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
剪切和挤压的的实用计算（续）
综上所述，挤压应力公式属于真正的假定计算 许用挤压应力也是靠破坏试验确定 试验结果
[σ jy ] (1.7 - 2.0)[σ]
联接件 中通常同时出现 —— 挤压应力、剪应力 被联接构件通常只出现 —— 挤压应力
校核键的剪切强度: （1）剪切面上的剪力 取键的下半部分和轴，受力如图
MO(F) 0 Qd / 2 m
Q 2m d
27
校核键的剪切强度
剪切面的面积 A bl
切应力
Q A
2m d bl
28.6
MPa
[ ]
60
MPa
满足剪切强度要求。
28
（2）校核键的挤压强度
挤压力
取键的上半部分，受力如图
4
概 述（续）
简单典型 —— 1个螺栓、2个被联接的构件
Q Q
先研究螺栓的受力情况
5
概 述（续）
Q
Q
螺栓受力特点
1、 横截面 mn, pq 上 有作用力 Q —— 象剪刀一样，试图把螺栓从该截面处剪开称Q为剪力
(Shear force)，引起切应力（ Shear stress) 2、杆段①、②、③ 受到被联接构件的挤压（Bearing)引起挤
• 如何确定许用剪应力[τ] 对材料做剪切试验，可测得剪断时的剪应力值τb
则该材料的许用剪应力为
[τ] τb nτ
nτ —— 剪切安全因数 试验结论
塑性材料 [τ] (0.6 - 0.8)[σ]
脆性材料 [τ] (0.8 -1.0)[σ]
12
例题
Q P
13
Q P
1. 静力平衡得到 剪力 Q = P
压应力（Bearing stress)
6
概 述（续）
基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式 （1）在截面mn, pq处被剪断 （2）受挤压部分的半圆被“挤扁” （近似半椭圆） 照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况 (2)
还应当研究被联接构件有没有新的受力特点
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概 述（续）
被联接构件受力特点
3
概 述（续）
• 两个或多个构件相连 —— 1. 用钉子、铆钉等联接 2. 焊接 3. 其它
• 本章只研究4种联接件—螺栓、销钉、铆钉、键块 • 联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点：
力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同） 问题： 1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
挤压实用计算方法： 假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
jy
P Ajy
平面接触有效挤压面面积的计算：
挤压面面积等于实际的承压面积。
hl Ajy 2
F h——平键高度
l——平键长度 h
b F
l
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已知：d=70mm, 键的尺寸为bhl=2012100mm，力偶 m= 2 kNm,键的 [τ]=60 MPa, [σjy]=100 MPa。 求：校核键的强度。
材料力学
Mechanics of Materials
肖念新
2020年5月8日
1
第三章 剪 切
第一节 概述 第二节 剪切和挤压的实用计算
2
第一节 概 述
如果受拉构件是拼接的，除了受拉，还受什么 作用？如联接件
在被联接构件（Connective Components） 之间， 常用铆钉作为 联接件（Connector）
18
例1 如图所示联接件中，已知P=200kN，t=20mm，螺栓之 [τ]=80MPa，[σjy]=200MPa（暂不考虑板的强度），求所需螺 栓的最小直径。
P
P
P
P
2
2
t
t
P
2t2
Q
Q
PP P
22 2
(a)
P
d P 200103 50(mm)
t[ jy ] 20 200
Q P 2
A d 2
4
(设螺栓直径为 d )
Q [] A
2P d 2
[]
d 2P 2 200103 31.6(mm)
[]
80
P jy Ajy [ jy ]
P td
[ jy ]
dmin 50mm
19
例2：外载集度 p=2MPa, 角钢厚 t=12mm, 长 L=150mm, 宽 b=60mm，螺栓直径 d=15mm。 求螺栓名义剪应力和螺栓与 角钢间的名义挤压应力（忽略角钢与工字钢之间的摩擦力）
(c)
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剪切和挤压的的实用计算（续）
A
A向
B向
B
挤压力P
剪力作用
挤压力计算
剪力Q
面 积 面 积 Ajy
挤压应力计算面积 —— 实际挤压面在垂直挤压
力方向上的投影
挤压应力
jy
Pjy Ajy
16
A
A向
Βιβλιοθήκη Baidu
B向
B
剪力Q
挤压力P 剪力作用
面积
挤压力计算 面 积 Ajy
注意：实际挤压面是半圆柱 剪应力 —— 1、计算面积是剪力的真实作用区
思考题 一、 图示拉杆接头的剪切面A和挤压面Ajy为( B )。
(A) Ａ: ab Ajy: cb (B) Ａ: ce Ajy: cd (C) Ａ: ce Ajy: ab (D) Ａ: ce Ajy: bc
35
9
剪切强度计算
1、剪力
2Q P Q P / 2
2、名义剪应力
假定剪应力均匀分布，剪力 Q 引起的剪应力为
τ Q P / 2 2P
A D2 / 4 D2
10
3、强度校核
若 [ ]
说明设计满足强度要求 否则，需重新设计，如加大螺栓直径等
[τ]——为许用剪应力
11
剪切和挤压的的实用计算（续）