数学高考双曲线渐近线小题秒杀(名校讲义,绝对精品)

2
，
ON
3,
∴ MON ，∴ MN 3 ，选 B。 3
13.(2018
年新课标全国卷
III11)设
F1
，F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原
点.过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若 PF1 6 OP ,则 C 的离心率为 (
1.(高考题)双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程是 (
)
49
A. y 2 x 3
B. y 4 x 9
C. y 3 x 2
D. y 9 x 4
【解析】：选 C。
2.(2013
年新课标全国卷
I4)已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1( a
0,b 0 )的离心率为
5 ,则 C 的渐近线方程为 2
a
a
2
a2
秒杀题型二：有共同渐近线双曲线方程的设法：
秒杀思路：
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
。
〖母题 1〗求与双曲线 x2 y2 1有公共的渐近线,且经过点 A 3, 2 3 的双曲线的方程. 9 16
【解析】：设双曲线方程为： x2 y2 ，代入点 A 得 1 ，双曲线方程为： 4x2 y2 1。
a
b
2
4.(2018
年新课标全国卷
II5)双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
(
)
A. y 2x
B. y 3x
C. y 2 x 2
D. y 3 x 2
【解析】：(秒杀方法)设 a 1, c 3 ，则 b 2 ，选 A。
5.(高考题)已知
0,b 0)
的右焦点 F (c, 0)
到一条渐近
3c
线的距离为 ，则其离心率的值是
．
2
【解析】： 3c b ，设 c 2, b 3, a 1，所以离心率为 2。 2
11.(2018
年天津卷)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b
0) 的离心率为
2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双
D. x2 y2 10x 9 0
【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以 r=b= 4 ，选 A。
4.(高考题)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的两条渐近线均和圆 C : x2
y2
6x 5
0 相切,且双曲
线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 (
)
A. x2 y2 1 54
曲线交于 A, B 两点. 设 A, B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1 d2 6 ，则双曲线的方
程为 (
)
A. x2 y2 1 4 12
B. x2 y2 1 12 4
C. x2 y2 1 39
D. x2 y2 1 93
【解析】：秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为 3，即 b 3 ，选 C。
的渐近线相切的圆的半径
是(
)
A. ab
B. a2 b2
C. a
D. b
【解析】：以 C 的右焦点为圆心且与 C 的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，即等于 b ，
选 D。
2.(高考题)双曲线 x 2 y 2 1 的渐近线与圆 (x 3)2 y 2 r 2 (r 0) 相切,则 r = (
6.(高考题)双曲线 x2 y2 1的顶点到其渐近线的距离等于 (
)
4
2
4
A.
B.
5
5
【解析】：由上题，选 C。
25
C.
5
45
D.
5
7.(2009 年新课标全国卷 4)双曲线 x2 - y2 =1 的焦点到渐近线的距离为 (
)
4 12
A. 2 3
B.2
C. 3
D.1
【解析】：由秒杀公式得 b 2 3 ，选 A。
9 16
4
94
1.(高考题)设双曲线 C 经过点 2, 2 ,且与 y2 x2 1具有相同渐近线,则 C 的方程为
4
为
.
；渐近线方程
【解析】：设双曲线方程为： y2 x2 ，代入点 2, 2 得 =-3，双曲线的方程为： x2 y2 1 ，渐近
4
3 12
线方程为 y 2x 。
秒杀题型三：已知渐近线方程设双曲线方程：
B. x2 y2 1 45
C. x2 y2 1 36
D. x2 y2 1 63
【解析】：c=3，r=b=2，a= 5 ，选 A。
5.(2007 年新课标全国卷 13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离
心率为
．
【解析】： 由相似成比例可得： c 6 3 。或由上面的秒杀公式直接得到答案。 a2
|2
b， c
b2 4c2 (
∴
6a)2 b b2 4c2 6a2 4b2 4c2 6a2 3c2 3a2 c2 3a2 e
3。
2b 2c
c
14.(2016 年北京卷)双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的渐近线为正方形 OABC
的边 OA, OC 所在的直线，点
8.(2014 年新课标全国卷 I4)已知 F 是双曲线 C : x2 my2 3m(m 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近
线的距离为 (
)
A. 3
B.3
C. 3m
D. 3m
【解析】：由秒杀公式得 b 3 ，选 A。
9.(高考题)已知双曲线
x2 4
y2 b2
1的右焦点与抛物线
说明：双曲线的渐近线是双曲线所特有的，要掌握渐近线与双曲线方程的联系，另外重点掌握双曲线特有
性质，对于解题非常方便。
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:
秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程: mx2 ny2 mx2 ny2 0 ;
②若焦点在 x 轴上，渐近线为 y b x ； a
若焦点在 y 轴上，渐近线为 y a x 。 b
y2
12x
的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于 (
)
A. 5
B. 4 2
C.3
D.5
【解析】：抛物线与双曲线的焦点为 3，0 ，则 b= 5 ，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 5 ，选
A。
10.(2018
年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy
中，若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a =
.
【解析】：OA OC ，e 2 ，即 a b ，而 b 2 ， a 2 。
4
4
2是 ( 10, 0) ,则双曲线的方程是
.
【解析】：设双曲线方程为：9 x 2
y2
，因为焦点在 x 轴上，化简为
x2
y2
1
，
9
10 得
9，
9
双曲线方程为： x2 y2 1 。 9
秒杀题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：
)
63
A. 3
B.2
C.3
D.6
【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以 r=b= 3 ，选 A。
3.(高考题)以双曲线 x2 y2 1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 (
)
9 16
A. x2 y2 10x 9 0
B. x2 y2 10x 16 0
C. x2 y2 10x 16 0
a
0,
b
0
,椭圆
C1
的方程为
x2 a2
y2 b2
1 ,双曲线
C2
的方程为
x2 a2
y2 b2
1 , C1 与 C2 的离心
率之积为
3 2
,则
C2
的渐近线方程为
(
A. x 2 y 0
B. 2x y 0
)
C. x 2y 0
D. 2x y 0
【解析】： a2 b2 a2 b2 3 ，得 b 2 ，选 A。
(
)
A. y 1 x 4
B. y 1 x 3
C. y 1 x 2
D. y x
【解析】：由 e c 5 ，得 b 1 ，选 C。
a2
a2
3.(高考题)若双曲线
x2 a2
y2 b2
1的离心率为
3 ,则其渐近线方程为
(
)
A. y 2x
B. y 2x
C. y 1 x 2
D. y 2 x 2
秒杀思路：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 (b) 。
秒．杀．公．式．：．焦．点．到．渐．近．线．的．距．离．与．顶．点．到．渐．近．线．的．距．离．之．比．等．于．双．曲．线．的．离．心．率．。．
1.(高考题)已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1
a
0, b
0 ,以 C
的右焦点为圆心且与 C
秒杀思路： ax by 0 (ax)2 (by)2 。
1.(2015 年新课标全国卷 II)已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y 1 x ,则该双曲线的标准方程 2
为
．．
【解析】：设双曲线方程为： x2 y2 ，将点 4，3 代入得 1 ，所以双曲线方程为 x2 y2 1 。
12.(2018 年新课标全国卷 I11)已知双曲线 C : x2 y2 1, O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线 3
与 C 的两条渐近线的交点分别为 M , N .若 OMN 为直角三角形,则 MN = (
)
3
A.
B.3
C. 2 3
D.4
2
【解析】：渐近线方程为 y
3 x ，∵ OMN 为直角三角形，假设 ONM 3
)
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
【解析】： | PF2 | b ,| PO | a ，又因为 | PF1 | 6 | OP | ，所以 | PF1 | 6a ，在 RtPOF2 中，
cos
| PF2 | OF2
| |
b c
，∵在 PF1F2 中， cos
| PF2 |2 | F1F2 |2 | PF1 2 | PF2 | | F1F2 |
【解析】：由 e c 3 ，得 b 2 ，选 B。
a
a
〖母题 2〗已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为 2x y 0 ,则双曲线的离心率为 (
)
A.5 或 5 4
B. 5 或 5 2
C. 3 或 3 2
D.5 或 5 3
【解析】：若焦点在 x 轴上，则有 b 2 ， e 5 ；若焦点在 y 轴上，则有 a 2 ， e 5 ；选 B。