费马点最值问题

费马点

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．

1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点

证明：

如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP

则△APC≌△APC，PC＝PC

因为∠BAC≥120°

所以∠P AP＝∠CAC≤60

所以在等腰△P AP中，AP≥PP

所以P A＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC

所以点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC 中三个内角均小于120°，分别以AB 、AC 为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC 内的交点为O ，求证：点O 为△ABC 的费马点

证明：在△ABC 内部任意取一点O ，；连接OA 、OB 、OC

将△AOC 绕着点A 逆时针旋转60°，得到△AO ′D 连接OO ′则O ′D ＝OC 所以△AOO ′为等边三角形，OO ′＝AO

所以OA ＋OC ＋OB ＝OO ′＋OB ＋O ′D

则当点B 、O 、O ′、D 四点共线时，OA ＋OB ＋OC 最小

此时ABAC 为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC 内的交点即为点O

如图，在△ABC 中，若∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 均小于120°，O 为费马点，则有∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

例1如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短

解：∵t ＝v GM v v GM 22GA GA 2+=+

∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短

如图，假设在OM上存在一点G，则BG＝AG

∴MG＋2AG＝MG＋AG＋BG

把△MGB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′G′B，连结GG′，MM′

∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形

则GG′＝G′B＝GB

又∵M′G′＝MG

∴MG＋AG＋BG＝M′G′＋GG′＋AG

∵点A、M′为定点

∴AM′与OM的交点为G，此时MG＋AG＋BG最小

∴点G的坐标为（0，3

2）

例2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？

解：如图，将△ABP绕点N逆时针旋转60°，得到△EBM；同样，将△DCQ绕点C 顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则△ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，△CQN均为等边三角形

所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P，Q在EF上，1＝2＝3＝4＝30．

进阶训练

1．如图，在ABC中，ABC＝60，AB＝5，BC＝3，P是ABC内一点，求P A＋

PB＋PC的最小值，并确定当P A＋PB＋PC取得最小值时，APC的度数．答案：P A＋PB＋PC的最小值为7，此时APC＝120．

【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60，得到A'BP'，连结PP'，A'C．过点A'作A'EBC，交CB的延长线于点E．解Rt A'E C求A'C的长，所得即为P A＋PB ＋PC的最小值．

2．如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN．（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小

（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM31时，求正方形的边长．

答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长；

（2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE的长．

（32

【提示】（3）过点E作EFBC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．