11影响线及其应用
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7
§6.1 影响线的概念
示例:
利用平衡条件建立影响线方程:
x P=1 P=1 P=1
P=1
P=1
RB
x l
P
x l
0
x
l
RB的影响线
影响线的应用例：
l
RB
y1
y2
0.25 0.5
0.75 1.0
P1
P2
RB P1 y1 P2 y2
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l
R8 B
§6.1 影响线的概念
无论是研究结构在移动荷载作用下的内力 变化规律或最不利荷载位置，内力影响线都 是最基本的工具。
荷载大小、方向不变，荷载作用点
随时间改变，结构所产生加速度的反应与静
荷载的反应相比可以忽略，这种特殊的作用
荷载称移动荷载。(吊车、车辆)
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5
§6.1 影响线的概念
二、移动荷载作用下的特点 结构的反应（反力、内力和变形）随荷
载作用位置改变。
三、要解决的问题： 1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；
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2
第六章 影响线及其应用
本章重点
1.掌握基本概念：影响线、绝对最大弯矩、包
络图等
2.学会用静力法和机动法做单跨梁的影响线
3.机动法做多跨静定梁的影响线
4.用影响线求量值 5.最不利载荷位置的确定方法
精选文档
3
§6.1 影响线的概念
精选文档
4
§6.1 影响线的概念
移动荷载的例子
一、移动荷载的定义
YA
YA影响线方程 YB影响线
YB
+
YA影响线
+
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11
影响线
3．结点法
（g）端斜杆A—4 内力（分力）影响线 结点A， F=1在A处， FyA4=0， F=1∈[1，B]， FyA4 ＝－FA， 节间连直线 比例→FSA4
4．上承∕下承荷载
（1）FNa 截面Ⅰ—Ⅰ，∑Y=0 上承 1～2（取右） FNa = FB 3～7（取左） FNa ＝－FA 下承 1～3（取右） FNa ＝ FB 4～4（取左） FNa ＝－FA （2）FNb 结点4，上承、下承
机动法作影响线 1．撤除所求量S的相应约束 2．沿S正方向 产生单位位移δS=1 3．所得机构刚体位移图 ——S影响线 4．上（＋）下（－） [例]简支梁 （1）MC影响线（yc确定） （2）FSC影响线 （yc1、yc2确定）
间接荷载作用 δP应为荷载F=1 作用点的位移图 ——δP为纵梁位移图
1．力矩法 （c）下弦杆1—2内力影响线 截面Ⅰ—Ⅰ∑m5=0→FN12
x [ A,1]，FN 12 x [2, B ], FN 12
5d FB h 3d FA h
左直线——右直线 左右直线交点在矩心下
• 几何关系——左、右直线 交点在矩心5的竖直位置 →合并： M0
FN 12
2．外伸梁影响线 （1）反力影响线 以支座为坐标原点， 影响线方程与简支相同 伸臂部分按直线延伸即可
lx FA l x FB l
（2）跨内部分截面内力影响线 (同反力影响线）
FB b MC FA a
FB FSC FA
（3）伸臂部分截面内力影响线（——悬臂梁） 求伸臂部分任一指定截面K的内力影响线， 取K点为坐标原点，x以向左为正 取K以左为隔离体， F＝1在DK段移动： MK＝－x， FSK＝－1； F＝1在KE段移动： MK＝0， FSK＝0； *（根据荷载作用于基本部分时 附属部分不受力的概念） 支座处： 弯矩MA影响线——与外伸部分相同 剪力FSA影响线——应分支座左右两侧截面讨论 ——对应伸臂部分和跨内部分
结构力学第11章 影响线
dx d
x
P=1 1/2
x＋ d
－
3d 4
1/4
D
QCE. I.L
M C .I .L
11-4 机动法绘作静定梁的影响线 一、刚体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平 衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚 体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。
W外 ＝ 0
虚功方程
二、机动法绘制简支梁影响线 （1）反力影响线
A
x
P=1 B l d 1 B RB
证明：根据W外=0
FB 1 1 d 0
A
＋
d FB
RB影响线
此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力 值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）
（2）弯矩影响线
x P=1 C l 1d ＋ B b
0 4d MD RB h h
P=1 C D I
RA
l=6d
E
NDEE
F P=1 F
G
RB
A
C
D
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
1、静力法
作图a所示多跨静 定梁MK的影响线，图 b为其层叠图。
F=1在AC段移 动时，MK=0，只考 虑荷载在CF段移动。 荷载在EF段移 动时的计算如图c。 荷载在CE段移动 时的计算同伸臂梁。
MK的影响线如图d。
多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法
（1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应 单跨静定梁相同。
MD=0 当P=1位于D截面左侧时，
当P=1位于D截面右侧时，
QD影响线 MD影响线
x
P=1 1/2
x＋ d
－
3d 4
1/4
D
QCE. I.L
M C .I .L
11-4 机动法绘作静定梁的影响线 一、刚体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平 衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚 体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。
W外 ＝ 0
虚功方程
二、机动法绘制简支梁影响线 （1）反力影响线
A
x
P=1 B l d 1 B RB
证明：根据W外=0
FB 1 1 d 0
A
＋
d FB
RB影响线
此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力 值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）
（2）弯矩影响线
x P=1 C l 1d ＋ B b
0 4d MD RB h h
P=1 C D I
RA
l=6d
E
NDEE
F P=1 F
G
RB
A
C
D
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
1、静力法
作图a所示多跨静 定梁MK的影响线，图 b为其层叠图。
F=1在AC段移 动时，MK=0，只考 虑荷载在CF段移动。 荷载在EF段移 动时的计算如图c。 荷载在CE段移动 时的计算同伸臂梁。
MK的影响线如图d。
多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法
（1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应 单跨静定梁相同。
MD=0 当P=1位于D截面左侧时，
当P=1位于D截面右侧时，
QD影响线 MD影响线
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第11章 影响线及其应用【圣才出品】
第11章 影响线及其应用
11.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概述（见表11-1-1） ★★★
表11-1-1
影响线的相关概述
二、用静力法作单跨静定梁的影响线（见表11-1-2） ★★★★
表11-1-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
三、间接荷载作用下的影响线（见表11-1-3） ★★★
表11-1-3
间接荷载作用下的影响线
图11-1-1
四、用机动法作单跨静定梁的影响线（见表11-1-4） ★★★★
表11-1-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
五、多跨静定梁的影响线（见表11-1-5） ★★★★
表11-1-5 多跨静定梁的影响线
六、桁架的影响线 ★★★
本节主要针对单跨静定梁式桁架，具体内容见表11-1-6。
表11-1-6 桁架的影响线
七、利用影响线求量值 ★★★★
绘制影响线的目的为利用影响线来确定实际移动荷载对于某一量值S的最不利位置，
以便求出该量值S的最大值。
利用影响线求量值的相关内容见表11-1-7。
表11-1-7 利用影响线求量值
八、最不利荷载位置（见表11-1-8） ★★★★
表11-1-8 最不利荷载位置
图11-1-2九、临界位置（见表11-1-9） ★★★。
《影响线的应用》课件
考虑影响线的约束条件，如材 料强度、结构稳定性等
优化影响线的形状和位置，以 实现最优设计效果
确定影响线的类型和范围 分析影响线的特点和规律 制定优化方案和策略 实施优化措施和调整 评估优化效果和反馈 持续优化和改进
优化效果：提高 了影响线的准确 性和稳定性
优化方法：采用 了先进的优化算 法和模型
感谢您的观看
汇报人：
影响线在桥梁设计中的应用
影响线在桥梁施工中的应用
影响线在桥梁监测中的应用
影响线在桥梁维护中的应用
影响线在房屋 建筑中的应用： 确定建筑物的 稳定性和承载
能力
影响线在房屋 建筑中的作用： 预测建筑物的 变形和破坏情
况
影响线在房屋 建筑中的计算 方法：采用有 限元法、边界 元法等数值计
算方法
影响线在房屋 建筑中的实际 应用：用于设 计、施工、维 护等各个阶段
确定影响线的起 点和终点
确定影响线的方 向和长度
绘制影响线的形 状和轮廓
标注影响线的名 称和参数
影响线是表示结构中某一点受力状态的线 影响线是结构力学中的重要概念，用于分析结构受力情况 影响线图可以帮助我们更好地理解结构的受力情况 影响线图可以帮助我们更好地理解结构的变形情况
影响线在工程中的 应用
数值积分法：通过数值积分求解影响线方程 解析法：通过解析解求解影响线方程 数值模拟法：通过数值模拟求解影响线方程 实验法：通过实验测量求解影响线方程
影响线的优化设计
提高影响线的准确性
降低影响线的计算复杂度
提高影响线的稳定性
优化影响线的可视化效果
确定影响线的类型和范围
采用合适的优化算法，如遗传 算法、模拟退火算法等
影响线的应用
第十一章影响线及其应用
练习: 练习 作FB , MA , MK , FSK Mi ,FSi 影响线. P=1 B i k A l/4 l/4 l/4 l/4
例：作FA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 FC 、 FS4 、 FSC左 、 FSC右 影响线 左 右
一. 简支梁的影响线
∑m ∑
A
=0
YB影响线方程
YB = x / l
A
B
l
FA FB
+
mB = 0
FB影响线
YA = 1− x / l −
特点： 特点：①反力影响线是直角 三角线，反力下方最大为1 FA 影响线 三角线，反力下方最大为 ②单位是无量纲
+
FA = 1− x / l FB = x / l
第十一章 影响线及其应用
§11.1 概述
•移动荷载 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。 •反应特点 结构的反应（反力、内力等） 结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位 置的改变而改变。 置的改变而改变。 •主要问题 移动荷载作用下结构的最大响应计算。 移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹 性条件下，影响线是有效工具之一。 性条件下，影响线是有效工具之一。
l = 5d
D
E
G
×
×
×
×
×
ab/l
x 1 C D
×
Mk影响线
× x d − x b/l d × × dF ×d SK影响线 × a/l
d −x x yk = yC + yD d d
直线
×
该结论适用于间接荷载 作用下任何量值的影响线
（4） 一般性结论： ） 一般性结论： 在结点荷载作用下， 在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两 结点之间为一直线。 结点之间为一直线。 先作直接荷载作用下的影响线， 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相 邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。 邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。
影响线及其应用PPT双语98页
结构承受移动荷载作用时，其反力、内力以及位移等
均随荷载作用位置的变化而改变。Under the moving
loads, the reactions , internal forces and displacements
of structures will change with the movement of the
静力法思路the procedure：利用静力求解方法（对静定结构用
平衡条件）求结构在P=1移动荷载下所求某物理量与荷载P=1 的
位置间的函数关系式，即影响系数方程，然后由方程作出影响
线。Using static equilibrium equations to determine the functions of the desired parameters with the position of the unit loads, then construct influence lines by these functions.
Particular attention should be paid to the form, ordinates of controlling points and the signs of the I.L. graphs ( 3 elements of I .L).
1、简支梁的影响线I.L.for simple beam
1、当P=1位于横梁（结点）处时，与直接荷载相同，既间接荷载作
用下的影响线在结点处的值与直接荷载作用下的影响线在结点处的
值相同。When P=1 locates at panel points, the ordinates of
I.L. is identical to that of I.L. when P=1 is applied directly
影响线及其应用
FQC F1 y1 F2 y2 F3 y3 Fi yi
i 1
3
图9-12
一般情况下，结构在一组平行荷载F1、F2、 F3、．．．、Fn共同作用下某量值S的计算式为 n
i 1
S F1 y1 F2 y 2 Fn y n Fi yi
（9-1）
二、均布荷载
第二节 用静力法绘制单跨静定梁影响线
用静力法作单跨静定梁支座反力及内力的影响线，其方法是: 1、先选取坐标系，将单位荷载布置在梁的任意x位置。 2、根据静力平衡方程建立所研究量值与x之间的影响线方程； 3、再由影响线方程绘制量值影响线。 一、支座反力的影响线 图9-2a所示为一简支梁AB，当单位竖向荷载F=1在梁上移动时，试讨论支座反力 FAy、FBy的变化规律。 取A点为支座原点，建立xAy坐标系，将移动荷载F=1暂固定在x位置，由平衡方 程可求出支座反力 lx lx FAy F （0≤x≤l） l l x x （0≤x≤l） F F
下面介绍一种解析法，以求最大弯矩值。在移动荷载作 用下确定最大弯矩，需要知道绝对最大弯矩发生的位置 和发生绝对最大弯矩的最不利荷载位置，即有两个因素 影响简支梁的绝对最大弯矩。由于梁的弯矩图的顶点总 是集中荷载作用处，可以断定Mmax必发生在某集中荷载 作用下，计算时，可在移动荷载中假定某一荷载为临界 荷载Fk，可用求弯矩极值的方法确定产生相对最大 弯矩的截面位置。
则有
S x Fi tan i
i 1
n
图9-10
一、移动集中荷载
3、由前分析可知，使S称为极大值临界位置，必须满足如下 条件：荷载自临界位置向右或向左移动时，△S值均应减 少或为零，即 由此可得：使S值为极大值时应满足 荷载稍向右移 ΣFitanαi≤0 （9-4） 荷载稍向左移 ΣFitanαi ≥0 同理：使S值为极小值时应满足 荷载稍向右移 ΣFitanαi ≥0 （9-5） 荷载稍向左移 ΣFitanαi ≤0 上述二式称为临界荷载位置的判别式。
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(影响线及其应用)【圣才出品】
第11章影响线及其应用复习思考题1．什么是影响线？影响线上任一点的横坐标与纵坐标各代表什么意义？答：（1）影响线是指当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下的）沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形。
（2）横坐标代表单位集中荷载F＝1的位置；纵坐标代表研究的一个反力或某一截面的某一项内力的量值。
2．用静力法作某内力影响线与在固定荷载作用下求该内力有何异同？答：用静力法作某内力影响线与在固定荷载作用下求该内力的异同点分别为：（1）相同点两者所用方法完全相同，即都是取隔离体由平衡条件来求该反力或内力。
（2）不同点用静力法作某内力影响线时，作用的荷载是一个移动的单位荷载，因而所求得的该反力或内力是荷载位置x的函数，即影响线方程；而在固定荷载作用下求该内力时，所求的就是某处的内力值。
3．在什么情况下影响线方程必须分段列出？答：当荷载作用在结构的不同部分上所求量值的影响线方程不同时，应将它们分段写出，并在作图时注意各方程的适用范围。
4．为什么静定结构内力、反力的影响线一定是由直线组成的图形？答：因为对于静定结构，其内力和反力影响线方程都是x的一次函数，故静定结构的反力和内力影响线都是由直线所组成的。
5．何谓间接荷载？如何做间接荷载下的影响线？答：（1）间接荷载是指对主梁来说，直接作用在其上面纵梁上的荷载。
（2）绘制间接荷载作用下影响线的步骤：①作出直接荷载作用下所求量值的影响线；②取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁范围内连以直线。
6．机动法作影响线的原理是什么？其中δP代表什么意义？答：（1）机动法作影响线的理论依据是虚位移原理，即刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。
（2）δP则为荷载F＝1的作用点沿其方向的位移，由于F＝1是移动的，因而δP就是荷载所沿着移动的各点的竖向虚位移图。
7．某截面的剪力影响线在该截面处是否一定有突变？突变处左右两竖标各代表什么意义？突变处两侧的线段为何必定平行？答：（1）截面的剪力影响线在该截面处一定有突变。
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【名校考研真题】(影响线及其应用)【圣才出品】
第11章影响线及其应用一、填空题1．在间接荷载作用下，梁截面内力影响线的作法是：应先作______截面内力影响线，然后再对该截面有影响的区段按直线规律变化修正。
[西南交通大学2006研] 【答案】直接荷载下该指定量值的影响线，而后按两横梁间为直线修改【解析】间接荷载下的影响线是以直接荷载作用下的影响线为基础的，具体作法：应先作直接荷载下该指定量值的影响线，而后按两横梁间为直线修改截面内力影响线，然后再对该截面有影响的区段按直线规律变化修正。
2．如图11-1所示多跨静定梁M D及F DQ的影响线分别为______，______（用图表示）。
[湖南大学2007研]图11-1【答案】；【解析】采用静力法。
以A 点为坐标原点，先求M D 的影响线当02x ≤≤时，M D ＝0；当24x ≤≤时，2D M x =-+；当48x ≤≤时，142D M x =-。
综上可画出M D 的影响线。
求F DQ 的影响线当02x ≤≤时，F DQ ＝0；当24x ≤≤时，1DQ F =+；当48x ≤≤时，124D M x =-+。
综上可画出F DQ 的影响线。
3．如图11-2所示组合结构，P ＝1在ABC 段移动，链杆DE 轴力的影响线在C 点处的竖标值为______。
[中南大学2005研]图11-2【答案】1【解析】链杆DE 轴力的影响线在C 点处的竖标值即为当C 点作用竖向单位力时DE 杆的轴力；显然结构为对称的，易知A 、B 支座的竖向反力均为1/2,；在C 点沿竖向截开，取右半部分为隔离体，根据平衡条件：0C M =∑，算得DE 杆的轴力为1。
二、选择题1．如图11-3所示三铰拱的拉杆N AB的影响线为（）。
[浙江大学2007研]A．斜直线B．曲线C．平直线D．三角形图11-3【答案】D【解析】根据静力法判断，当P＝1在AC段上时，N AB的值为B支座反力乘以一个常数（BC水平投影与拱高的比值），同理当P＝1在CB段上时，N AB的值为A支座反力乘以一个常数（AC水平投影与拱高的比值）；易知A、B支座反力的影响线为两个直角三角形，所以N AB的影响线为A、B支座反力的影响线乘以常数后的相交区域的三角形。
结构力学第11章
Fp=1
p
1
换句话说，在虚位移过程中 单位荷载位置的位移图 p(x)反映 了反力RB 随Fp=1荷载位置变化规 律。即位移图p(x)就代表了RB 的 影响线。
机动法作影响线的步骤： (a)欲求某一量值的影响线，解除与之相应的 约束，用相应未知量代替； (b)沿相应未知量方向上产生单位位移，则所 得位移图即为相应量的影响线。
§11.3
*间接荷载作用下
的影响线
上节中讨论影响线时，单位荷载都是直接作用于梁上， 故称直接荷载作用下的影响线。在实际工程中，还存在另 一种形式的荷载——间接荷载。如图(a)所示桥梁结构，主 梁承受间接荷载（又称结点荷载）作用。下面讨论间接荷 载作用下影响线的特点及绘制方法。 (1)容易证明，反力影响线 及结点处MC和MD的影响线 与直接荷载作用下的影响线 完全相同。
A
x Fp=1
C l B
RA
a
b
RB
图(a)
1
图(b) RA影响线
1
图(c) RB影响线
a b/
A
求任一截面C的弯矩MC影响线 ，易得
x M C RB b b l lx M C RA a a l
(0 x a) (b)
l
图(d) MC影响线
(a x l)
RA
1
图(c)
RB
RA：
图(d)
(2)影响线: 当一个方向不变的单位荷载（广义荷载）沿一结 构移动时，表示某一量值（反力、内力等）随荷载位 置变化规律的函数图形，称为该量值的影响线。 影响线是活载作用下结构分析计算的工具。 影响线的用途 (a)确定一组荷载对结构某一量值 的影响 (b)确定最不利荷载的位置及相应 的最大值 绘制影响线常用的方法有两种： 静力法 机动法
p
1
换句话说，在虚位移过程中 单位荷载位置的位移图 p(x)反映 了反力RB 随Fp=1荷载位置变化规 律。即位移图p(x)就代表了RB 的 影响线。
机动法作影响线的步骤： (a)欲求某一量值的影响线，解除与之相应的 约束，用相应未知量代替； (b)沿相应未知量方向上产生单位位移，则所 得位移图即为相应量的影响线。
§11.3
*间接荷载作用下
的影响线
上节中讨论影响线时，单位荷载都是直接作用于梁上， 故称直接荷载作用下的影响线。在实际工程中，还存在另 一种形式的荷载——间接荷载。如图(a)所示桥梁结构，主 梁承受间接荷载（又称结点荷载）作用。下面讨论间接荷 载作用下影响线的特点及绘制方法。 (1)容易证明，反力影响线 及结点处MC和MD的影响线 与直接荷载作用下的影响线 完全相同。
A
x Fp=1
C l B
RA
a
b
RB
图(a)
1
图(b) RA影响线
1
图(c) RB影响线
a b/
A
求任一截面C的弯矩MC影响线 ，易得
x M C RB b b l lx M C RA a a l
(0 x a) (b)
l
图(d) MC影响线
(a x l)
RA
1
图(c)
RB
RA：
图(d)
(2)影响线: 当一个方向不变的单位荷载（广义荷载）沿一结 构移动时，表示某一量值（反力、内力等）随荷载位 置变化规律的函数图形，称为该量值的影响线。 影响线是活载作用下结构分析计算的工具。 影响线的用途 (a)确定一组荷载对结构某一量值 的影响 (b)确定最不利荷载的位置及相应 的最大值 绘制影响线常用的方法有两种： 静力法 机动法
第11章影响线
如图所示，当汽车由左向右移动时， 反力FA将逐渐减小，FB将逐渐增大。
图a所示简支梁，当F=1分别移动到 A、1、2、3、B各等分点时，反力FA 的数值为：1、3/4、1/2、1/4、0。
横坐标：荷载F=1的位臵 纵坐标：反力FA的数值 图b即为FA的影响线。
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
§11-9 最不利荷载位置
§11-10 换算荷载 §11-11 简支梁的绝对最大弯矩 §11-12 简支梁的包络图 §11-13 超静定结构影响线作法概述 §11-14 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图
§11-1 概
述
移动荷载—荷载作用点在结构上是移动的。如行驶的列车等。 影响线—当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示 某一指定量变化规律的图形称为该量值的影响线。
第十一章 影响线及其应用
§11-1 概述 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线
§11-4 用机动法作但跨静定梁的影响线
§11-5 多跨静定梁的影响线
§11-6 桁架的影响线
§11-7 利用影响线求量值
§11-8 铁路和公路的荷载标准值
第十一章 影响线及其应用
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
作剪力FSC影响线时，去掉与
FSC相应的联系，将截面C处改为 用两根水平链杆相联。 使体系沿FSC的正方向发生虚 位移，如图d。 体系的虚功方程为
FSC (CC1 CC2 ) F P 0
可得
FSC
P
CC1 CC2
令CC1+CC2=1，虚位移图中AC1和C2B应为两条平行线
Fy15
F=1在2、B 间移动时，取左 结点1、2之间连以直线，Fy15影响线如图e。 部分为隔离体 a M O 0 Fy15 FA 2d a
图a所示简支梁，当F=1分别移动到 A、1、2、3、B各等分点时，反力FA 的数值为：1、3/4、1/2、1/4、0。
横坐标：荷载F=1的位臵 纵坐标：反力FA的数值 图b即为FA的影响线。
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
§11-9 最不利荷载位置
§11-10 换算荷载 §11-11 简支梁的绝对最大弯矩 §11-12 简支梁的包络图 §11-13 超静定结构影响线作法概述 §11-14 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图
§11-1 概
述
移动荷载—荷载作用点在结构上是移动的。如行驶的列车等。 影响线—当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示 某一指定量变化规律的图形称为该量值的影响线。
第十一章 影响线及其应用
§11-1 概述 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线
§11-4 用机动法作但跨静定梁的影响线
§11-5 多跨静定梁的影响线
§11-6 桁架的影响线
§11-7 利用影响线求量值
§11-8 铁路和公路的荷载标准值
第十一章 影响线及其应用
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
作剪力FSC影响线时，去掉与
FSC相应的联系，将截面C处改为 用两根水平链杆相联。 使体系沿FSC的正方向发生虚 位移，如图d。 体系的虚功方程为
FSC (CC1 CC2 ) F P 0
可得
FSC
P
CC1 CC2
令CC1+CC2=1，虚位移图中AC1和C2B应为两条平行线
Fy15
F=1在2、B 间移动时，取左 结点1、2之间连以直线，Fy15影响线如图e。 部分为隔离体 a M O 0 Fy15 FA 2d a
影响线及其应用
图11-3
并要求在图中注明正、负号。根据影响线的定义，FA影响线中的
中的任一纵距yk即代表当荷载F=1移动至梁上K处时反力FA的大 小。
绘制FB的影响线时，利用平衡方程ΣMA=0，可得
FB l 1 x 0
FB
x l
(0 x l)
它也是x的一次式，故FB的影响线也是一条直线，如图11-3(c)所 示。 由上可知反力影响线的特点：跨度之间为一直线，最大纵距在 该支座之下，其值为1；最小纵距在另一支座之下，其值为0。
即可绘出当F=1在截面C以右移动时MC的影响线。MC影响线如 图11-4(b)所示。MC的影响线由两段直线组成，呈一三角形，两 直线的交点即三角形的顶点就在截面C的下方，其纵距为ab/l。 通常称截面C以左的直线为左直线，截面C以右的直线为右直 线。
由上述弯矩影响线方程可知，左直线可由反力FB的影响线乘 以常数b所取AC段而得到；而右直线可由反力FA的影响线乘以 常数a并取CB段而得到。这种利用已知量值的影响线来作其他 未知量值影响线的方法，常会带来很大的方便，以后常用到。 弯矩影响线的纵距的量纲是长度的量纲。
§11-1 概 述
1．移动荷载作用下结构计算特点 固定荷载、移动荷载。 在移动荷载作用下，结构的反力、内力及位移都将随荷载位置的 移动而变化，它们都是荷载位置的函数。结构设计中必须求出各 量值(如某一反力、某一截面内力或某点位移)的最大值。因此， 寻求产生与该量值最大值对应的荷载位置，即最不利荷载位置， 并进而求出该量值的最大值，就是移动荷载作用下结构计算中必 须解决的问题。
第11章 影响线及其应用
本章主要内容 影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，多 跨静定梁的影响线，间接荷载作用下的影响线，利用影响线求 量值，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 简支梁的绝对最大弯矩和包络图。
结构力学第五版 李廉锟 第十一章影响线及其应用
第十一章 影响线及其应用
§11-4 机动法绘作静定梁的影响线
一、机动法做影响线的基本原理 刚体体系的虚功原理：虚位移原理（虚设单位位移法） • 机动法的优点：不经计算快速的绘出影响线的形状。从而确 定荷载的最不利位置。也可用它来校核静力 法绘制的影响线。 二、作图步骤 1.撤掉与所求量值相对应的约束（支座或与截面内力对 应的约束），用正方向的量值来代替； 2.沿所求量值正方向虚设单位位移，并画出整个梁的刚 体位移图； 3.应用刚体体系的虚功原理建立虚功方程，导出所求量 值与位移图之间的关系，即为影响线。
二者的区别：
（1）固定荷载作用下，结构内力与位移是确定的，截面内力是定值；
（2）在移动荷载作用下，结构内力随荷载位置的变化而变化。
工程实际中移动荷载的类型很多，但都具有大小和方向保 持不变的特性，抓住这一特点，从中取出移动的单位集中荷载 （F＝１）进行研究，它是各种移动荷载中最简单、最基本的情 形。
将荷载 F=1放在任意位置，并选定一坐标 系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后 根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置 x 之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程， 再根据方程作出影响线图形。
静力法： 与固定荷载作用： 求解相同——平衡条件求解反力、内力； 区别在于——荷载的位置为变量x ——反力、内力为x的函数——影响线方程 注意：影响线方程不同时，需分段写出； 作影响线图时，注意各方程的适用范围 静定结构——影响线直线： 直接法——分段直线方程的控制点，连直线 超静定结构——影响线一般为曲线
5 d 8
15 d 16
l=4d
3 d 4
RB
MC.I.L
＋
x
MC
8
d
影响线
a
MB MD左
a
8-5 桁架的影响线（静力法和机动法联 合） s2 A d
R
A
s1 s3 D E d d
d B
解：
C d
P=1
1
S 1 2 RB （P在AD段） S1 2 RA （P在DB段）
1
RB
s1 2
2
1
s2 A d C d
P=1
s1 s3
d B
S 2 2 RB （P在AC段） S 2 2 RA （P在DB段）
l
l
l
A l
M 1 l M 1 0
P在B点 P在1C段
P在B1段 P在1C段
(2l x 3l )
N 2 1 M 2 x(2l x 3l )
Q3 1 M 3 ( x l )
l
RA
1
l
MA 4l
M1
l 1
MK m ax 3.83P
M P 2 1 P3 2 P 4 3.83 P
5 6
P2
6/9 3/9
P3
4.5/9
P4
1/9
6 4 .5 1 QKMax P 9 9 9 1.278 P
P2作用在K截面右侧
2 1.5 3 1 QK P P 9 9 9 9
左 QD P2 y下 右 QD P2 y上
QD
y下
2.均布荷载作用
q
D
y (x)
C
E
1 ( x)
x
QC q ( x).dx. y ( x)
D
E
q y ( x)dx
结构力学 第11章 影响线及其应用
纵梁 F 横梁（结点） 主梁
2. 间接荷载影响线的绘制方法
F=1 F=1 F=1 A C D y E F=1 B
以绘制MC影响线为例
（1）首先，将F=1移动到各 结点处。 其MC与直接荷载作用 在主梁上完全相同。
yD
yE
F=1
x
d
MC影响线
dx d
x d
接荷载作用下MC影响线在D、 E处的竖标为 yD、yE ， 在上述 两结点荷载作用下MC值为
S=F1y1+F2y2+…+Fnyn =(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tg =tg∑Fixi
S影响线
F1
F2
R
Fn
据合力矩定理 ∑Fixi=R x
故有 S=R x tg=R y
合力
o
0 x
1
y1
x2
y2
y
yn S影响线
x
合力R作用点处影响线的竖标
2. 分布荷载 微段dx上的荷载为dx
则ab区段内分布荷载产生
的影响量:
dx
b
S=
b
a
q x ydx
a
y
b S影响线
q
均布荷载（Fs=常数）
S= q ydx q
a
a
ω
b
S影响线
影响线在荷载范围内面积的 代数和
§11—8 铁路和公路标准荷载制(P295,了解)
公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，设计 结构时不可能对每种情况都进行计算，而是以一种统一的标准 荷载来进行设计。这种标准荷载是经过统计分析制定出来的， 它既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将来的发展。
2. 间接荷载影响线的绘制方法
F=1 F=1 F=1 A C D y E F=1 B
以绘制MC影响线为例
（1）首先，将F=1移动到各 结点处。 其MC与直接荷载作用 在主梁上完全相同。
yD
yE
F=1
x
d
MC影响线
dx d
x d
接荷载作用下MC影响线在D、 E处的竖标为 yD、yE ， 在上述 两结点荷载作用下MC值为
S=F1y1+F2y2+…+Fnyn =(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tg =tg∑Fixi
S影响线
F1
F2
R
Fn
据合力矩定理 ∑Fixi=R x
故有 S=R x tg=R y
合力
o
0 x
1
y1
x2
y2
y
yn S影响线
x
合力R作用点处影响线的竖标
2. 分布荷载 微段dx上的荷载为dx
则ab区段内分布荷载产生
的影响量:
dx
b
S=
b
a
q x ydx
a
y
b S影响线
q
均布荷载（Fs=常数）
S= q ydx q
a
a
ω
b
S影响线
影响线在荷载范围内面积的 代数和
§11—8 铁路和公路标准荷载制(P295,了解)
公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，设计 结构时不可能对每种情况都进行计算，而是以一种统一的标准 荷载来进行设计。这种标准荷载是经过统计分析制定出来的， 它既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将来的发展。
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移动荷载：荷载大小、方向不变，荷载作 用点随时间改变，结构所产生加速度的反应 与静荷载反应相比可以忽略，这种特殊的作 用荷载称移动荷载。(车辆荷载、人群荷载、 吊车荷载等)
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09:47
§11-1 影响线的概念
结构力学
结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与 位移(统称为量值)将随着荷载位置的不同而变化。
最典型的移动荷载：
单位移动荷载 — 数字和量纲均为1，可以在实 际移动荷载可到达的范围内移动。
影响线定义:当一个方向不变的单位荷载在结构上 移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化规律 的函数图形，就称为该量值的影响线。
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09:47
§11-1 影响线的概念
F=1
FR
结构力学
F=1
FlR/4=1 F=1
MC的影响线。这种利用已知量值的影响线来作其他量值影
线，由两点的纵坐标
x 0，MC 0
即可绘出AC 段MC 的 影响线。
x
a，MC
ab l
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09:48
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
当荷载F =1在截
面C 的右方移动时，
取梁中 AC 段为隔离
体，再由
∑MC = 0 ，得
MC
FyA
a
l
l
x
a
x F=1
C A
a
FyA
l
x l
(0 x l)
此即FyB 的影响线方程。由两点的纵坐标
x 0, FyB 0 x l, FyB 1
即可绘出FyB 的影响线.
B
b
FyB
由于单位荷载F=1的量纲是1，所以反力影响线的 纵坐标的量纲也是1。
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09:48
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
2.弯矩的影响线
Y
1
3/4 1/2 1/4
X
----反力FR的影响线
•影响线定义 单位移动荷载作用下某
物理量随荷载位置变化规 律的图形。
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FR =3/4
l/2
F=1
FR =1/2 3l/4
F=1
FR =1/4
F=1
FR =0
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09:48
§11-1 影响线的概念
结构力学
在研究移动荷载作用所产生的影响时，只要把单位 移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根据叠加 原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。
只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线。
x 0, FyA 1
x l, FyA 0
把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号。
B
b
F yB
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09:48
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
(2) 反力FyB 的影响线
x F=1
由
C A
MA
F
x
FyB
l
0 FyA
a
l
得
FyB
F
x l
退出
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09:48
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
1. 支座反力的影响线
x F =1
(1) 反力FyA的影响线
A
C
取梁整体为隔离体，由 FyA
a l
MB FyA l 1(l x) 0
FyA的影响线方程为
FyA
1
l
l
x
1
x l
(0 x l)
FyA 是x 的一次函数，影响线为一直线。
x F=1
作弯矩的影响线时，首 A 先明确要作哪一个截面的弯 矩影响线。现拟作图示简支 FyA
C
a l
梁截面C 的弯矩影响线。
B
b
FyB
当荷载F=1在截面C的左方移动时，为了计算简便，
取梁中CB段为隔离体，并规定以使梁下面纤维受拉
的弯矩为正，由∑Mx C = 0 ，得
由M此C可知F，yB MbC的l影b响线在截(0面Cx以 左a)部分为一直
结构力学 第十一章 影响线及其应用
§11-1 影响线的概念 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线 §11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11-5 多跨静定梁的影响线 §11-6 桁架的影响线
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09:47
§11-7 利用影响线求量值
§11-8 铁路和公路的标准荷载制
B
b
FyB
(a x l)
由此可知，MC 的影响线在截面C 以右部分也为一直线，
由两点的纵坐标
x
a，MC
ab l
x l，MC 0
即可绘出BC段的MC影响线。
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09:48
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
MC 的全部影响线是由两段直线所组成，直线的 相交点位于截面C 处的纵坐标顶点。通常称截面以 左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。
§11-9 最不利荷载位置 §11-10 换算荷载
§11-11 简支梁的绝对最大弯矩 §11-12 简支梁的包络图
本章总结 自测题
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结构力学
09:47
§11-1 影响线的概念
结构力学
一、移动荷载
固定荷载：荷载的大小、方向和作用点在 结构的空间位置上是固定不变的。
结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与 位移也是不变的。
分析弯矩影响线方程可以看出，MC的左直线为反力FyA 的影响线将纵坐标乘以b而得到，右直线可由反力FyB的影 响线将纵坐标乘以a而得到。因此，可以利用FyA和 FyB的影 响线来绘制弯矩MC的影响线：在左、右两支座处分别取纵 坐标a、b，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直
线相连，则这两根直线的交点与左、右零点相连部分就是
2. 建立静力平衡方程，将该量值表示为x 的函数。 3. 根据函数关系，绘制出该量值的影响线。若影 响线为正值，则绘于y 轴正向；反之，绘于y 轴负向。
一、简支梁的影响线
用静力法绘制图示简支梁AB的反力、弯矩和剪 力影响线。
建立坐标系——以A点为坐标原点，以x 表示荷 载 F=1作用点的横坐标。
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x F =1
A
1
l
B
FB的影响线
FB F1 Βιβλιοθήκη 1 F2 y2y1
y
2
1
F1
F2
绘制影响线的方法： 静力法——静力平衡条件； 机动法——虚位移原理。
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09:48
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
用静力法作静定梁影响线的基本步骤：
1. 建立坐标系。选取坐标原点，以F=1的移动方 向为x轴（x 轴的指向可以任意假设），以与F=1指 向相反的方向作为y 轴正方向建立坐标系。
在结构分析和设计中，必须解决以下问题：
（1）某量值的变化范围和变化规律； （2）计算某量值的最大值，作为设计的依据。 这就要先确定最不利荷载位置——即使结构某量 值达到最大值的荷载位置。
影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。
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09:47
§11-1 影响线的概念
结构力学
二、影响线的概念
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§11-1 影响线的概念
结构力学
结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与 位移(统称为量值)将随着荷载位置的不同而变化。
最典型的移动荷载：
单位移动荷载 — 数字和量纲均为1，可以在实 际移动荷载可到达的范围内移动。
影响线定义:当一个方向不变的单位荷载在结构上 移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化规律 的函数图形，就称为该量值的影响线。
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§11-1 影响线的概念
F=1
FR
结构力学
F=1
FlR/4=1 F=1
MC的影响线。这种利用已知量值的影响线来作其他量值影
线，由两点的纵坐标
x 0，MC 0
即可绘出AC 段MC 的 影响线。
x
a，MC
ab l
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§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
当荷载F =1在截
面C 的右方移动时，
取梁中 AC 段为隔离
体，再由
∑MC = 0 ，得
MC
FyA
a
l
l
x
a
x F=1
C A
a
FyA
l
x l
(0 x l)
此即FyB 的影响线方程。由两点的纵坐标
x 0, FyB 0 x l, FyB 1
即可绘出FyB 的影响线.
B
b
FyB
由于单位荷载F=1的量纲是1，所以反力影响线的 纵坐标的量纲也是1。
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§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
2.弯矩的影响线
Y
1
3/4 1/2 1/4
X
----反力FR的影响线
•影响线定义 单位移动荷载作用下某
物理量随荷载位置变化规 律的图形。
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FR =3/4
l/2
F=1
FR =1/2 3l/4
F=1
FR =1/4
F=1
FR =0
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§11-1 影响线的概念
结构力学
在研究移动荷载作用所产生的影响时，只要把单位 移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根据叠加 原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。
只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线。
x 0, FyA 1
x l, FyA 0
把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号。
B
b
F yB
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§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
(2) 反力FyB 的影响线
x F=1
由
C A
MA
F
x
FyB
l
0 FyA
a
l
得
FyB
F
x l
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§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
1. 支座反力的影响线
x F =1
(1) 反力FyA的影响线
A
C
取梁整体为隔离体，由 FyA
a l
MB FyA l 1(l x) 0
FyA的影响线方程为
FyA
1
l
l
x
1
x l
(0 x l)
FyA 是x 的一次函数，影响线为一直线。
x F=1
作弯矩的影响线时，首 A 先明确要作哪一个截面的弯 矩影响线。现拟作图示简支 FyA
C
a l
梁截面C 的弯矩影响线。
B
b
FyB
当荷载F=1在截面C的左方移动时，为了计算简便，
取梁中CB段为隔离体，并规定以使梁下面纤维受拉
的弯矩为正，由∑Mx C = 0 ，得
由M此C可知F，yB MbC的l影b响线在截(0面Cx以 左a)部分为一直
结构力学 第十一章 影响线及其应用
§11-1 影响线的概念 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线 §11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11-5 多跨静定梁的影响线 §11-6 桁架的影响线
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§11-7 利用影响线求量值
§11-8 铁路和公路的标准荷载制
B
b
FyB
(a x l)
由此可知，MC 的影响线在截面C 以右部分也为一直线，
由两点的纵坐标
x
a，MC
ab l
x l，MC 0
即可绘出BC段的MC影响线。
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§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
MC 的全部影响线是由两段直线所组成，直线的 相交点位于截面C 处的纵坐标顶点。通常称截面以 左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。
§11-9 最不利荷载位置 §11-10 换算荷载
§11-11 简支梁的绝对最大弯矩 §11-12 简支梁的包络图
本章总结 自测题
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结构力学
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§11-1 影响线的概念
结构力学
一、移动荷载
固定荷载：荷载的大小、方向和作用点在 结构的空间位置上是固定不变的。
结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与 位移也是不变的。
分析弯矩影响线方程可以看出，MC的左直线为反力FyA 的影响线将纵坐标乘以b而得到，右直线可由反力FyB的影 响线将纵坐标乘以a而得到。因此，可以利用FyA和 FyB的影 响线来绘制弯矩MC的影响线：在左、右两支座处分别取纵 坐标a、b，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直
线相连，则这两根直线的交点与左、右零点相连部分就是
2. 建立静力平衡方程，将该量值表示为x 的函数。 3. 根据函数关系，绘制出该量值的影响线。若影 响线为正值，则绘于y 轴正向；反之，绘于y 轴负向。
一、简支梁的影响线
用静力法绘制图示简支梁AB的反力、弯矩和剪 力影响线。
建立坐标系——以A点为坐标原点，以x 表示荷 载 F=1作用点的横坐标。
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x F =1
A
1
l
B
FB的影响线
FB F1 Βιβλιοθήκη 1 F2 y2y1
y
2
1
F1
F2
绘制影响线的方法： 静力法——静力平衡条件； 机动法——虚位移原理。
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§11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学
用静力法作静定梁影响线的基本步骤：
1. 建立坐标系。选取坐标原点，以F=1的移动方 向为x轴（x 轴的指向可以任意假设），以与F=1指 向相反的方向作为y 轴正方向建立坐标系。
在结构分析和设计中，必须解决以下问题：
（1）某量值的变化范围和变化规律； （2）计算某量值的最大值，作为设计的依据。 这就要先确定最不利荷载位置——即使结构某量 值达到最大值的荷载位置。
影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。
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§11-1 影响线的概念
结构力学
二、影响线的概念