第11章影响线及其应用
影响线及其应用
第十一章影响线及其应用本章主要内容影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，多跨静定梁的影响线，间接荷载作用下的影响线，利用影响线求量值，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。
简支梁的绝对最大弯矩和包络图。
目的要求1. 掌握影响线的概念2. 熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。
3. 掌握用影响线求量值和最不利荷载位置的确定。
4. 掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。
§11-1 概述1．移动荷载作用下结构计算特点固定荷载、移动荷载。
在移动荷载作用下，结构的反力、内力及位移都将随荷载位置的移动而变化，它们都是荷载位置的函数。
结构设计中必须求出各量值(如某一反力、某一截面内力或某点位移)的最大值。
因此，寻求产生与该量值最大值对应的荷载位置，即最不利荷载位置，并进而求出该量值的最大值，就是移动荷载作用下结构计算中必须解决的问题。
2．影响线的概念工程结构中所遇到的荷载通常都是由一系列间距不变的竖向荷载组成的。
由于其类型很多，不可能对它们逐一加以研究。
为了使问题简化，可从各类移动荷载中抽象出一个共同具有的最基本、最简单的单位集中荷载F =1，首先研究这个单位集中荷载F=1在结构上移动时对某一量值的影响，然后再利用叠加原理确定各类移动荷载对该量值的影响。
为了更直观地图11-1 图11-2描述上述问题，可把某量值随荷载F =1的位置移动而变化的规律(即函数关系)用图形表示出来，这种图形称为该量值的影响线。
由此可得影响线的定义如下：当一个指向不变的单位集中荷载．．．．．．．．．．．．．．(通常其方．．．．向是竖直向下的．．．．．．．)沿结构移动时．．．．．．，表示某一指定量值变化规律的图形．．．．．．．．．．．．．．．，称为该量．．．．值．的影响线．．．．。
若某量值的影响线绘出后，即可借助于叠加原理及函数极值的概念，将该量值在实际移动荷载作用下的最大值求出。
下面首先讨论影响线的绘制。
影响线
3．结点法
（g）端斜杆A—4 内力（分力）影响线 结点A， F=1在A处， FyA4=0， F=1∈[1，B]， FyA4 ＝－FA， 节间连直线 比例→FSA4
4．上承∕下承荷载
（1）FNa 截面Ⅰ—Ⅰ，∑Y=0 上承 1～2（取右） FNa = FB 3～7（取左） FNa ＝－FA 下承 1～3（取右） FNa ＝ FB 4～4（取左） FNa ＝－FA （2）FNb 结点4，上承、下承
机动法作影响线 1．撤除所求量S的相应约束 2．沿S正方向 产生单位位移δS=1 3．所得机构刚体位移图 ——S影响线 4．上（＋）下（－） [例]简支梁 （1）MC影响线（yc确定） （2）FSC影响线 （yc1、yc2确定）
间接荷载作用 δP应为荷载F=1 作用点的位移图 ——δP为纵梁位移图
1．力矩法 （c）下弦杆1—2内力影响线 截面Ⅰ—Ⅰ∑m5=0→FN12
x [ A,1]，FN 12 x [2, B ], FN 12
5d FB h 3d FA h
左直线——右直线 左右直线交点在矩心下
• 几何关系——左、右直线 交点在矩心5的竖直位置 →合并： M0
FN 12
2．外伸梁影响线 （1）反力影响线 以支座为坐标原点， 影响线方程与简支相同 伸臂部分按直线延伸即可
lx FA l x FB l
（2）跨内部分截面内力影响线 (同反力影响线）
FB b MC FA a
FB FSC FA
（3）伸臂部分截面内力影响线（——悬臂梁） 求伸臂部分任一指定截面K的内力影响线， 取K点为坐标原点，x以向左为正 取K以左为隔离体， F＝1在DK段移动： MK＝－x， FSK＝－1； F＝1在KE段移动： MK＝0， FSK＝0； *（根据荷载作用于基本部分时 附属部分不受力的概念） 支座处： 弯矩MA影响线——与外伸部分相同 剪力FSA影响线——应分支座左右两侧截面讨论 ——对应伸臂部分和跨内部分
结构力学第11章 影响线
x
P=1 1/2
x＋ d
－
3d 4
1/4
D
QCE. I.L
M C .I .L
11-4 机动法绘作静定梁的影响线 一、刚体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平 衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚 体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。
W外 ＝ 0
虚功方程
二、机动法绘制简支梁影响线 （1）反力影响线
A
x
P=1 B l d 1 B RB
证明：根据W外=0
FB 1 1 d 0
A
＋
d FB
RB影响线
此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力 值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）
（2）弯矩影响线
x P=1 C l 1d ＋ B b
0 4d MD RB h h
P=1 C D I
RA
l=6d
E
NDEE
F P=1 F
G
RB
A
C
D
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
1、静力法
作图a所示多跨静 定梁MK的影响线，图 b为其层叠图。
F=1在AC段移 动时，MK=0，只考 虑荷载在CF段移动。 荷载在EF段移 动时的计算如图c。 荷载在CE段移动 时的计算同伸臂梁。
MK的影响线如图d。
多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法
（1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应 单跨静定梁相同。
MD=0 当P=1位于D截面左侧时，
当P=1位于D截面右侧时，
QD影响线 MD影响线
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第11章 影响线及其应用【圣才出品】
第11章 影响线及其应用
11.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概述（见表11-1-1） ★★★
表11-1-1
影响线的相关概述
二、用静力法作单跨静定梁的影响线（见表11-1-2） ★★★★
表11-1-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
三、间接荷载作用下的影响线（见表11-1-3） ★★★
表11-1-3
间接荷载作用下的影响线
图11-1-1
四、用机动法作单跨静定梁的影响线（见表11-1-4） ★★★★
表11-1-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
五、多跨静定梁的影响线（见表11-1-5） ★★★★
表11-1-5 多跨静定梁的影响线
六、桁架的影响线 ★★★
本节主要针对单跨静定梁式桁架，具体内容见表11-1-6。
表11-1-6 桁架的影响线
七、利用影响线求量值 ★★★★
绘制影响线的目的为利用影响线来确定实际移动荷载对于某一量值S的最不利位置，
以便求出该量值S的最大值。
利用影响线求量值的相关内容见表11-1-7。
表11-1-7 利用影响线求量值
八、最不利荷载位置（见表11-1-8） ★★★★
表11-1-8 最不利荷载位置
图11-1-2九、临界位置（见表11-1-9） ★★★。
结构力学章节习题及参考答案
第1章绪论（无习题）第2章平面体系的机动分析习题解答习题是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( )(3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( )(4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )：习题(5)图(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
( )(a)(b)(c)习题(6)图习题填空(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。
习题(1)图》(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题(3)图(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(4)图(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
}习题(5)图(6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题(6)图(7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题(7)图习题对习题图所示各体系进行几何组成分析。
(a)(b)、(c)(d)(e)(f)(h)(g)(i)(j)(k)(l)习题图第3章 静定梁与静定刚架习题解答习题 是非判断题(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。
影响线的应用
2. 移动集中荷载
① 单个移动荷载：当只有一个荷载 P 作用时，只要将力 P 移动到该 最值 S 影响线的最大纵标处（即 ymax ) 即可得量值 S 的最大值。
② 一组移动荷载：汽车、吊车等轮压荷载是由一组间距不变的移动集
中荷载组成，根据式 (12-8)，可求得 S Pi yi 的最大值，相应的荷载位置
建筑力学
【例12-3】 求图12-15a 所示简支梁 C 截面的最大弯矩。已知简支梁承 受汽车荷载 ，各荷载为汽车轮压。
解：首先作出 MC 的影响线 如图12-15b 所示。车队集中荷 载（ P = 100 kN ) 数值最大并且 靠近移动荷载的合力，故取其 为临界荷载。考虑车队左行、 右行时荷载的序列不同，因此 荷载的分布有两种情况。
即是量值 S 的最不利荷载位置。
由此推断：产生最不利荷载位置时，必有一个集中荷载作用于影响 线的顶点处。通常将这一位于影响线顶点的集中荷载称为临界荷载，其 常为荷载密度集中数值最大并且靠近移动荷载的合力的移动荷载。可用 试算法或判别法确定最不利荷载位置，当荷载不太复杂时常用试算法， 即将各移动荷载依次移到影响线的顶点位置上，分别求出量值 S 的大小， 其中产生最大量值 Smax 的荷载位置就是最不利荷载位置。
可利用前面所学方法进行校核。
图 12-13
1.2 确定最不利荷载位置 确定某一量值发生最大或最小值时，移动荷载的位置即为最不利荷载 位置。在活荷载作用下，结构上的某一量值一般都随着位置的变化而变化。 在结构设计时，必须求出各量值的最大值（包括最大正值和最大负值，最 大负值也称最小值），只要所求最值的最不利荷载位置确定，则其最大值 不难求得，下面对常见的情况进行讨论。
② 求出力 P 作用点和均布荷载所对
第十一章影响线及其应用
练习: 练习 作FB , MA , MK , FSK Mi ,FSi 影响线. P=1 B i k A l/4 l/4 l/4 l/4
例：作FA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 FC 、 FS4 、 FSC左 、 FSC右 影响线 左 右
一. 简支梁的影响线
∑m ∑
A
=0
YB影响线方程
YB = x / l
A
B
l
FA FB
+
mB = 0
FB影响线
YA = 1− x / l −
特点： 特点：①反力影响线是直角 三角线，反力下方最大为1 FA 影响线 三角线，反力下方最大为 ②单位是无量纲
+
FA = 1− x / l FB = x / l
第十一章 影响线及其应用
§11.1 概述
•移动荷载 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。 •反应特点 结构的反应（反力、内力等） 结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位 置的改变而改变。 置的改变而改变。 •主要问题 移动荷载作用下结构的最大响应计算。 移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹 性条件下，影响线是有效工具之一。 性条件下，影响线是有效工具之一。
l = 5d
D
E
G
×
×
×
×
×
ab/l
x 1 C D
×
Mk影响线
× x d − x b/l d × × dF ×d SK影响线 × a/l
d −x x yk = yC + yD d d
直线
×
该结论适用于间接荷载 作用下任何量值的影响线
（4） 一般性结论： ） 一般性结论： 在结点荷载作用下， 在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两 结点之间为一直线。 结点之间为一直线。 先作直接荷载作用下的影响线， 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相 邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。 邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。
影响线及其应用PPT双语98页
结构承受移动荷载作用时，其反力、内力以及位移等
均随荷载作用位置的变化而改变。Under the moving
loads, the reactions , internal forces and displacements
of structures will change with the movement of the
静力法思路the procedure：利用静力求解方法（对静定结构用
平衡条件）求结构在P=1移动荷载下所求某物理量与荷载P=1 的
位置间的函数关系式，即影响系数方程，然后由方程作出影响
线。Using static equilibrium equations to determine the functions of the desired parameters with the position of the unit loads, then construct influence lines by these functions.
Particular attention should be paid to the form, ordinates of controlling points and the signs of the I.L. graphs ( 3 elements of I .L).
1、简支梁的影响线I.L.for simple beam
1、当P=1位于横梁（结点）处时，与直接荷载相同，既间接荷载作
用下的影响线在结点处的值与直接荷载作用下的影响线在结点处的
值相同。When P=1 locates at panel points, the ordinates of
I.L. is identical to that of I.L. when P=1 is applied directly
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弯矩MA影响线——与外伸部分相同 剪力FSA影响线——应分支座左右两侧截面讨论
——对应伸臂部分和跨内部分
静力法： 与固定荷载作用： 求解相同——平衡条件求解反力、内力； 区别在于——荷载的位置为变量x
——反力、内力为x的函数——影响线方程
注意：影响线方程不同时，需分段写出； 作影响线图时，注意各方程的适用范围
节间截面FS相等
[例]（图11—8）FB、MK、FSK
§11－4 机动法
机动法作影响线——虚位移原理
刚体体系在力系作用下处于平衡的充分必要条件:
在任何微小虚位移中，力系所作虚功总和为零。
[例]简支梁反力
①解除支座A；
②FA方向给虚位移δA
③虚功方程FAδA＋FδP=0
FA
令δA=1，F=1，FA= -δP
影响线规定 （1）上（+）下（-） （2）弯矩下拉为（+） （3）标注值（包括单位） （4）标注图形名称：MC影响线（ILMC） ILFA、ILFB、ILMC、ILFSC
——标准影响线可直接用 IL——Influence Line
静定结构——影响线为直线
2．外伸梁影响线 （1）反力影响线
以支座为坐标原点， 影响线方程与简支相同 伸臂部分按直线延伸即可
lx FA l
FB
x l
（2）跨内部分截面内力影响线 (同反力影响线）
MC
FFBA
b a
FSC FAFB
（3）伸臂部分截面内力影响线（——悬臂梁） 求伸臂部分任一指定截面K的内力影响线， 取K点为坐标原点，x以向左为正 取K以左为隔离体， F＝1在DK段移动： MK＝－x， FSK＝－1； F＝1在KE段移动： MK＝0， FSK＝0； *（根据荷载作用于基本部分时 附属部分不受力的概念）
lx FA l
yK的意义？ F=1作用在K时，FA的值
1．简支梁影响线
（1）反力
FABiblioteka llxFB
x l
（2）弯矩影响线
Mc
Fb
b
b l
x
(0 x a)
Mc
Fa
a
l
l
x
a
(a x l)
（3）剪力影响线
FSC FB (0 x a) FSC FA (a x l)
剪力影响线，x＝a时，FSC值是不确定的
变化规律——直线，
最不利位置——x＝0
应用：FA=F1y1+F2y2
量纲
[FA
]
[FA ] [F]
[N [N
] ]
[1]
基本作法——静力法、机动法
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 基本方法——静力法、机动法 静力法： 设F=1在任意位置， 选定一坐标系，横坐标x表示F作用点位置， 平衡条件求出某量值与F位置x的函数关系式 ——影响线方程——影响线图形
④虚位移图δP即为影响线
说明：δP与FP方向一致为正， δP向上为负，（-δP）为正， 与影响线图形上正下负一致
机动法作影响线
1．撤除所求量S的相应约束 2．沿S正方向
产生单位位移δS=1 3．所得机构刚体位移图
——S影响线 4．上（＋）下（－） [例]简支梁 （1）MC影响线（yc确定） （2）FSC影响线
作IL：FA、FB、MC、FSC、MD、FSDL、FSDR
F＝1作用在结点处，与直接荷载作用相同， 讨论F＝1作用于节间，某一纵梁上： DE纵梁，F=1作用于x ①反力—反作用在主梁上
影响线定义及叠加原理
dx
x
y d yD d yE
——直线方程
②ILMC ③ILFSDE *主梁DE段无荷载，
静定结构——影响线直线： 直接法——分段直线方程的控制点，连直线
超静定结构——影响线一般为曲线
§11—3 间接荷载作用下的影响线 桥梁结构——纵横梁系统——主梁简图 荷载直接作用在纵梁上→横梁→主梁 主梁—间接荷载（结点荷载）——影响线绘制
（1）作直接荷载作用影响线 （2）节间连直线（节间—横梁之间的纵梁范围）
第十一章 影响线及其应用
§11－1 概述
静力荷载 固定荷载——大小、方向与作用点位置不变 移动荷载——大小、方向不变，作用位置改变 [例] 桥梁——火车、汽车 厂房吊车梁——吊车 ——与动力荷载区别
结构在移动荷载作用下内力计算 （1）反力、内力随荷载移动的变化规律 （2）确定（移动）荷载的最不利位置 —— 最大值，
A、1、2、3、B
（0）反力影响线 ILFA ILFB
1．力矩法 （c）下弦杆1—2内力影响线
截面Ⅰ—Ⅰ∑m5=0→FN12
x [ A,1]，FN12
5d h
FB
3d x [2, B], FN12 h FA
（yc1、yc2确定）
间接荷载作用
δP应为荷载F=1 作用点的位移图
——δP为纵梁位移图
（求解器Ltu11-11）
机动法—— 作主梁位移图；
节间连直线。
FSC影响线
§11—5多跨静定梁的影响线 传力关系：基本部分——附属部分 利用单跨静定梁的影响线 【例】CE段－MK影响线
CE部分 ——外伸梁
AC基本部分， F＝1→MK=0； EF附属部分，
作为设计依据
影响线概念： 移动荷载——工程实际中， 一组方向平行，间距不变的竖向荷载 典型 —— F = 1 影响线——单位集中荷载移动时， 某内力（反力）变化规律的图形
【例】简支梁，F=1移动，FA(x)——变化规律
FA
l
l
x
F
F F 1
FA
l
l
x ，x x
0 l
FA 1 FA 0
F＝1→FSE＝(l－x)/l
MK＝yEFSE，——直线
多跨静定梁某量S影响线特点 （静力法，图11—12） 1．F=1在S本身梁移动
——与单跨梁相同 2．F=1在对于S部分为基本部分上移动
——量值为零 3．F=1在对于S部分为附属部分上移动
——量值为—直线
机动法——机构位移图——简便（图11—13） MK、FLSB、FRF； FRA、FRB、MAB中、FSBC中、MB、FLSB、FRSB； FSC、MK、FSK，MD，FLSD、FRSD、MDE中、FSDE中 FSE、MEF中、FSEF中、FRF
间接荷载作法相同： 机动法作主梁影响线; 节间连直线
§11—6桁架影响线 桁架内力的影响线 静力法 • 截面法 结点法
• 力矩法 投影法
• 间接法—借助反力影响线 直接法——控制点，连线
• 斜杆→水平/竖向分力影响线 →内力影响线
[例1]（图11—14） （a）简支桁架， 移动荷载F＝1沿下弦 （b）相应纵横梁， 对应节间位置：