利用完全平方差公式进行因式分解
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第四章 因式分 解
4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式 .
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy +3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式 3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设 a+b=m,则原式化为 m 2-12m +36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（ 2）-x 2+4xy -4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即 16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
a2 2ab +b2
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; 是
（2）1+4a2; 不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是 （5）x2+x+0.25. 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b2与-1的符号不统一；
（4）因为 ab不是 a 与b 的积的 2倍 .
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式 ,那么N是( B )
=3 a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=( a+b-6)2.
概念学习
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做 公式法.
针对训练 因式分解： (1)－ 3a2x 2＋24a 2x －48a2；
有公因式要先 提公因式
(1)1002－2×100×99+992；
本题利用完全平方公 式分解因式，可以简
百度文库
(2)342＋34×32＋162.
化计算，
解： (1)原式 =（100 －99)2 =1.
(2)原式＝ (34 ＋16)2
＝2500.
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1
的值．
解： ∵x 2－4x ＋y2－10y＋29＝0，
(2)中首项有负号，一 般先利用添括号法则， 将其变形为 -(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式 .
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x 2-4x y+4y2) =-(x-2y)2.
讲授新课
一 用完全平方公式分解因式 你能把下面 4个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？
a a2 a
ab a ab a b2 b
b
b
b
同学们拼出图形为：
b ab
b2
a a2 ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2
= a2+2ab+b2
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
两个数的平方和加上
a2 ±2ab +b2 =(a ± b)2 (或减去)这两个数的积
首2 ±2× +尾2 首×尾
的2倍，等于这两个数 (首±尾)2 的和(或差)的平方.
对照 a2±2ab+b2=(a±b)2，填空： 1. x2+4x+4= ( x )2 +2·(x )·(2 )+( 2 )2 =(x + 2 )2 2.m2-6m+9=( m )2- 2·(m ) ·(3 )+(3 )2 =(m - 3 )2 3.a2+4ab+4b2=( a)2+2·( a) ·( 2b )+( 2b )2=( a + 2b )2
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且 a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ ABC的形状，并说明理由．
∴(x － 2)2＋(y－5)2＝ 0.
∵(x －2)2≥0 ，(y－ 5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5，
几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0.
∴x 2y2＋2xy ＋1＝(xy ＋1)2
＝112＝121.
方法总结： 此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题．
= （a+b）2
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作 完全
平方式 . 观察这两个式子：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的± 2倍
(2)(a2＋4)2－16a2. 解： (1)原式＝ －3a2(x 2－ 8x ＋16)
＝－ 3a2(x －4)2；
要检查每一个多项 式的因式，看能否 继续分解．
(2)原式＝ (a2＋4)2－ (4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式：
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x=2x×(-3), 故可知 N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式 ,那么m的值 为___±__8___.
解析： ∵16=(± 4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结： 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值 .计算过程 中，要注意积的 2倍的符号，避免漏解．
完全平方式 : a 2 ? 2ab ? b2
完全平方式的特点： 1.必须是 三项式 （或可以看成三项的）； 2. 有两个 同号 的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的 ±2倍.
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央 .
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解 .
4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
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当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式 .
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy +3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式 3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设 a+b=m,则原式化为 m 2-12m +36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（ 2）-x 2+4xy -4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即 16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
a2 2ab +b2
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; 是
（2）1+4a2; 不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是 （5）x2+x+0.25. 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b2与-1的符号不统一；
（4）因为 ab不是 a 与b 的积的 2倍 .
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式 ,那么N是( B )
=3 a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=( a+b-6)2.
概念学习
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做 公式法.
针对训练 因式分解： (1)－ 3a2x 2＋24a 2x －48a2；
有公因式要先 提公因式
(1)1002－2×100×99+992；
本题利用完全平方公 式分解因式，可以简
百度文库
(2)342＋34×32＋162.
化计算，
解： (1)原式 =（100 －99)2 =1.
(2)原式＝ (34 ＋16)2
＝2500.
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1
的值．
解： ∵x 2－4x ＋y2－10y＋29＝0，
(2)中首项有负号，一 般先利用添括号法则， 将其变形为 -(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式 .
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x 2-4x y+4y2) =-(x-2y)2.
讲授新课
一 用完全平方公式分解因式 你能把下面 4个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？
a a2 a
ab a ab a b2 b
b
b
b
同学们拼出图形为：
b ab
b2
a a2 ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2
= a2+2ab+b2
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
两个数的平方和加上
a2 ±2ab +b2 =(a ± b)2 (或减去)这两个数的积
首2 ±2× +尾2 首×尾
的2倍，等于这两个数 (首±尾)2 的和(或差)的平方.
对照 a2±2ab+b2=(a±b)2，填空： 1. x2+4x+4= ( x )2 +2·(x )·(2 )+( 2 )2 =(x + 2 )2 2.m2-6m+9=( m )2- 2·(m ) ·(3 )+(3 )2 =(m - 3 )2 3.a2+4ab+4b2=( a)2+2·( a) ·( 2b )+( 2b )2=( a + 2b )2
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且 a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ ABC的形状，并说明理由．
∴(x － 2)2＋(y－5)2＝ 0.
∵(x －2)2≥0 ，(y－ 5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5，
几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0.
∴x 2y2＋2xy ＋1＝(xy ＋1)2
＝112＝121.
方法总结： 此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题．
= （a+b）2
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作 完全
平方式 . 观察这两个式子：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的± 2倍
(2)(a2＋4)2－16a2. 解： (1)原式＝ －3a2(x 2－ 8x ＋16)
＝－ 3a2(x －4)2；
要检查每一个多项 式的因式，看能否 继续分解．
(2)原式＝ (a2＋4)2－ (4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式：
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x=2x×(-3), 故可知 N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式 ,那么m的值 为___±__8___.
解析： ∵16=(± 4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结： 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值 .计算过程 中，要注意积的 2倍的符号，避免漏解．
完全平方式 : a 2 ? 2ab ? b2
完全平方式的特点： 1.必须是 三项式 （或可以看成三项的）； 2. 有两个 同号 的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的 ±2倍.
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央 .
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解 .