D114对面积曲面积分
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
对面积的曲面积分
0 时，若极限 lim 0
i 1
f (i
，i
， i )Si
存在，且与曲面
的
分法及点 (i ，i ，i ) 的取法无关，
1.1 对面积的曲面积分的概念与性质
则称此极限为函数 f (x ，y ，z) 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
作 f (x ，y ，z)dS ，即 Σ
n
Σ
坐标面所围成四面体的表面，如图所示．
解 设 1 ， 2 ，3 ， 4 分别表示 在平面 x 0 ， y 0 ， z 0 ， x y z 1上 的部分．在 1 ， 2 ，3 上，因为被积函数为零，即 xyz 0 ，所以
xyzdS xyzdS xyzdS 0．
1
2
3
4 在 xOy 面上的投影为 Dxy {(x ，y) | 0 x 1，0 y 1 x} ．
的．后面我们总假定曲面是光滑或分片光滑的．
1.1 对面积的曲面积分的概念与性质
性质 1 设 是光滑曲面， f (x ，y ，z) ，g(x ，y ，z) 在 上连续， k1 ，k2 为常数，则
[k1 f (x ，y ，z) k2g(x ，y ，z)]dS k1 f (x ，y ，z)dS k2 g(x ，y ，z)dS ．
1.1 对面积的曲面积分的概念与性质
考虑一非均匀曲面型构件 ，设该曲面上任一点处的面密度为连续函数 (x ，y) ．把曲面 任意分割成 n 个小曲面 Si (i 1，2， ，n) ， Si 既表示第 i 个小
曲面，也表示该小曲面的面积，并记 m1 iaxn{Si 的直径 } ．若在第 i 个小曲面上任取一
点 (i ，i ，i ) ，则第 i 个小曲面的质量为 Mi (i ，i ， i )Si ，
对面积曲面积分的计算法
所以
0
1
2
3
在 4 上 z 1 x y， dS 1 zx2 zy2 d 3d， 又 4 在xoy面上的投影区域D为 x 0, y 0, x y 1 围成的三角形
所以
xyzdS
xyzdS xy(1 x y) 3d
4
D
1
1 x
30 xdx0 y(1 x y)dy
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan R
Z R
|0H
dy
arctan H R 1 dy
R 0 R2 y2
而
R 1 dy lim R1
0 R2 y2
R1 R 0
lim arcsin R1
R1 R
R2
1 dy R2 y2
所以
dS x2 y2 z2
a
d
Hale Waihona Puke a2 x2 y2所以
1
z
dS
1
D a2 x2 y2
a
d
a2 x2 y2
a d
a rdrd
D a2 x2 y2
D a2 r2
（极坐标）
＝a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r r2 dr
2 a[
1 ln(a2 2
r 2 )]0 a2 h2
2 a ln a
h
❖例2 计算 xyzdS ，其中 是三个坐标面和
3
1
x[(1 x)
0
y2 2
y3 3
]10
x
dx
3 1 x (1 x)3 dx
0
对面积的曲面积分的计算方法
对面积的曲面积分的计算方法曲面积分是在三维空间中对一个曲面上的某个量进行积分，其结果是一个标量。
曲面积分在科学、工程等领域中有着广泛的应用，例如用于计算物理量的分布、流体力学中的流量等。
曲面积分的计算方法基本上可以分为两种：参数化法和微元法。
参数化法是将曲面上的点表示成一组参数的函数形式，从而将曲面积分转化为对参数的积分。
具体来说，假设曲面在参数域内的参数表示为u、v，曲面上的某一点坐标表示为(x,y,z)，那么我们可以将曲面上任意一点的坐标表示为(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。
此时，曲面积分被表示为以下形式：∫∫ f(x,y,z)ds = ∫∫f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|ru×rv|dudv其中，|ru×rv|代表曲面在参数域内的两个方向上的向量积的模长，是一个表示曲面面积的系数。
这个曲面积分的计算方式相对较简单，只需要固定参数u和v的取值范围，然后将f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))乘以|ru×rv|进行积分即可。
微元法是将曲面分割成若干微小的面元，然后对每个微元进行积分，最后将所有微元的积分结果加起来得到整个曲面积分的结果。
具体来说，我们可以将曲面分割成n个小面元，每个小面元的面积为dS，对于每个小面元需要求出f(x,y,z)在该面元上的贡献，即f(x,y,z)dS。
然后将所有小面元的贡献加起来即可得到整个曲面积分的结果：∫∫ f(x,y,z)ds = lim(n→∞) Σ[i=1 to n]f(x_i,y_i,z_i)dS_i其中，dS_i代表第i个小面元的面积，(x_i,y_i,z_i)代表第i个小面元的中心点的坐标。
当n无限大时，这个极限就是整个曲面积分的结果。
需要注意的是，微元法中的分割方式对最终结果的精度有很大影响。
通常情况下，我们会选择将曲面分割成较小的小面元，以保证计算结果的精度。
无论是参数化法还是微元法，曲面积分的计算都需要一定的数学基础才能进行。
[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件
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a 2 d 0
0
a2h2
a2
1
2
d
a212lna(2
2)
a2h2 0
2alnah.
.
11
例2. 计 (x 算 2 y 2 z 2 ),其 S :x 中 2 y 2 z 2 a 2 .
S
解I: SS1S2
.
z
S1: z a2x2y2,
a
S2: za2x2y2.
S1
D xy o
ay
将曲 S1,面 S2向xo面 y 投影，a 得S 2
S
f(x ,y,z)d S g (x ,y,z)d S ;
S
S
(3) 积分曲.面 如 ( : S 可 S1 加 S2)性
f(x ,y ,z )d S f(x ,y ,z )d S g (x ,y ,z )d S .
S
S 1
S 2
(4) 1dSS的面.积
S
.
5
二、对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面 S:zz(x,y),
f ( x ,y ,z ) d S f ( z ,x ,y ) d S f ( y ,z ,x ) d S
S
S
S
轮换不变性
若曲面有轮换对称性, 则曲面上的第一类曲面 积分有轮换不变性.
.
29
例9. 设曲 xy面 z1(x0 ,y0 ,z0 )
求 (xy)d S 与 x d S .
S
S
解: 曲面 xyz1有轮换对 , 称性
其S 中 是界 z0 于 及 zH间的圆 x2柱 y2面 R2.
解：SS1S2,
z
S1: x R2y2,
H
S2: x R2y2.
高等数学课件--D114对面积曲面积分
2 2 1 z ( , ) z ( ,k ) ( ) x kk y k k x y
( 光滑)
k 1
2 2 1 z ( , ) z ( ,k ) ( ) x kk y k k x y
f ( x , y , 1 z ( x , y ) z ( x , y ) d x d y z(x, y) ) x y D
x y
2019/3/12 同济版高等数学课件
说明: 1) 如果曲面方程为 x x ( y , z ), ( y , z ) D y z
或 y y ( x , z ), ( x , z ) D x z
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的
z
0
d S ( z
第四节 对面积的曲面积分
第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
2019/3/12
同济版高等数学课件
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一、对面积的曲面积分的概念与性质 ( x ,y ,z ), 求质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度
量 M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
二重积分. (见本节后面的例4, 例5)
2019/3/12
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dS 2 2 2 , 其中 是球面 x 例1. 计算曲面积分 y z z 2 h ( 0 h a ) 截出的顶部. a 被平面 z z 2 2 2 解: : z a x y , ( x , y ) D x y 2 2 2 2 h D : x y a h x y O a y Dxy a 2 2 1zx zy a2 x2 y2 x ad x d y 2π dS a2h2 r dr 2 2 2 a d 0 D z 0 x ya x y a2 r2
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第十一章
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积
的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积
函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为 M (x, y, z) d S 曲面面积为
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
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例1. 计算曲面积分
其中 是球面
被平面
截出的顶部.
解:
Dxy : x2 y2 a2 h2
z
h
1
z x2
z
2 y
Dxy a y x
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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例3 计算 ( x y z)ds, 其中 为平面 y z 5 被
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
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作业
P217 4(2); 5(1); 6(1), (3)
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
思考:
若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
被平行平面 z =±h 截
z
)
h
dS z
(
4 π a ln a h
)
y x h
z 1
Dx y y
计算结果如何 ?
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球面坐标
z Rcos d S R2 sin d d
R3 2π d
π
2sin cos d
0
0
R 2π d
π
2sin d
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
f (x, y, z) dS 存在, 且有
O
y
x Dxy
d
dS
f (x, y, Dx y
)
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说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在.
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2, 则有
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
柱面 x2 y2 25 所截得的部分.
解 积分曲面 ：z 5 y,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2 dxdy 1 0 (1)2 dxdy 2dxdy,
故 (x y z)ds 2 (x y 5 y)dxdy
Dxy
的方法, 可得
n
M
k 1
O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
其中 是球面 x2 y2
解: 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I
2 3
(x2
y2
z2) d S
4 3
(x
y
z) d S
xd S yd S zd S 利用重心公式
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
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例5. 计算 解: 取球面坐标系, 则
: x2 y2 z2 R2.
2π
d
π
R2 sin R cos
d
00
2
π
R
π
d( R cos R cos
)
0
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例6. 计算
z2 2(x y z).
2 (5 x)dxdy 2 5 dxdy 125 2.
Dxy
Dxy
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内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
dS z
a dxdy
2π
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2π0
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4 分别表示 在平面 1
上的部分, 则
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
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I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2π
d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 π a4 (8 5 2)
x
6
思考: 若例3 中被积函数改为
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例4. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
解: 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
交线为
x Dx y y
a2 x2 y2 的
设1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)