D114对面积曲面积分

z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
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作业
P217 4(2); 5(1); 6(1), (3)
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
思考:
若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
被平行平面 z =±h 截
z
)
h
dS z
(
4 π a ln a h
)
y x h
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例4. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
解: 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
交线为
x Dx y y
a2 x2 y2 的
设1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)
其中 是球面 x2 y2
解: 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I
2 3
(x2
y2
z2) d S
4 3
(x
y
z) d S
xd S yd S zd S 利用重心公式
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
f (x, y, z) dS 存在, 且有
O
y
x Dxy
d
dS
f (x, y, Dx y
)
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说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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例3 计算 ( x y z)ds, 其中 为平面 y z 5 被
柱面 x2 y2 25 所截得的部分.
解 积分曲面 ：z 5 y,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2 dxdy 1 0 (1)2 dxdy 2dxdy,
故 (x y z)ds 2 (x y 5 y)dxdy
Dxy
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
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例5. 计算 解: 取球面坐标系, 则
: x2 y2 z2 R2.
2π
d
π
R2 sin R cos
d
00
2
π
R
π
d( R cos R cos
)
0
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例6. 计算
z2 2(x y z).
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在.
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2, 则有
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
可有类似的公来自百度文库. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
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例1. 计算曲面积分
其中 是球面
被平面
截出的顶部.
解:
Dxy : x2 y2 a2 h2
z
h
1
z x2
z
2 y
Dxy a y x
2 (5 x)dxdy 2 5 dxdy 125 2.
Dxy
Dxy
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内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
的方法, 可得
n
M
k 1
O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
z 1
Dx y y
计算结果如何 ?
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球面坐标
z Rcos d S R2 sin d d
R3 2π d
π
2sin cos d
0
0
R 2π d
π
2sin d
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积
的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积
函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为 M (x, y, z) d S 曲面面积为
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
dS z
a dxdy
2π
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2πa
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4 分别表示 在平面 1
上的部分, 则
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
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I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2π
d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 π a4 (8 5 2)
x
6
思考: 若例3 中被积函数改为
第四节
第十一章
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”