含参不等式的解法

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含参不等式解法

含参不等式题型一：解含参不等式例1解关于x 的不等式)2,1(0)2()1)((≠≠>---a a x x a x 且变式1：解关于x 的不等式)(0)()(2R a a x a x ∈<--例2. 解关于x 的不等式)(12)1(R a x x a ∈>--变式2：解关于x 的不等式0)2)(2(>--ax x题型二：含参不等式与集合运算例1设R B A B A a x x B x x A =∅=≤-=>-= ,},1|2||{},1|12||{，求实数a 的值.变式1：已知集合}02|{2≤--∈=x x R x A ，}3|{+<<∈=a x a R x B 且∅=B A ，则实数a 的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式03)1(4)54(22>+---+x a x a a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围变式1：设关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x x x a 的解集为R ，求a 的取值范围例2若a x x >+--|5||2|恒成立，则实数a 的取值范围是____________ _________变式2：若不等式a x x ≤++-|3||4|的解集为空集，则实数a 的取值范围是三、巩固练习1.若不等式)0(02≠<++a a x ax 无解，则a 的取值范围是（）2121.≥-≤a a A 或 21.<a B 2121.≤≤-x C 21.≥a D 2.设集合}044|{},01|{2恒成立对任意实数x mx mxR m Q m m P <-+∈=<<-=，则下列关系式中成立的是（）Q P A ⊂.Q P B =. P Q C ⊂. ∅=Q P D .3.已知0>a ，不等式a x x <-+-|3||4|在实数集R 上的解集不是空集，则正实数a 的取值范围是4.若不等式a x x >++-|3||4|的解集为R ，则实数a 的取值范围是5.设}25|{,},03|{},0325|{2≤<-=∅=≤++=<-+=x x B A B A ax x x B x x x A ，则实数a 的值为6.解关于的不等式01>--x a x7解关于x 的不等式)0(02≠<-a x ax。

含参不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。

一．二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当(){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆（方程有没有根，取决于谁？）()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-=，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为：（1）当324324+<<-a 时，解集为R ；（2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)；（3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)；（4）当324-<a 或324+>a 时，解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )；二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故（1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a；（3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为：①当0<a 时，{11><x a x x 或}；②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时，此时a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--a a a a x 242++-<< （3）当a<0时,原式可化为：012>-+ax xa a 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ；②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ;③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)；（2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21);（4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如：解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(*1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。

含参数的不等式的解法

含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。

常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。

如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。

2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。

对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。

对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。

3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。

对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。

对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。

步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。

根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。

1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。

-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。

2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。

-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。

3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。

步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。

解答含参不等式问题常用的几种方法

考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。

求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”

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含参二元一次不等式的解法

含参二元一次不等式的解法引言含参二元一次不等式是数学中常见的问题之一。

解决这类不等式可以帮助我们找到变量的取值范围，从而更准确地描述问题的解空间。

本文将介绍含参二元一次不等式的解法。

解法概述解决含参二元一次不等式的方法可以分为以下几步：1. 将不等式转化为标准形式；2. 求解不等式中的参数；3. 根据参数的取值范围，确定不等式的解集。

步骤详解步骤一：将不等式转化为标准形式例如，将含参二元一次不等式 $ax + by > c$ 转化为标准形式，可通过以下方式：1. 将参数 $a$ 和 $b$ 提取出来，即将不等式变为$a(x+b\frac{c}{b}) + by > c$；2. 化简不等式，得到 $ax + ab\frac{c}{b} + by > c$；3. 将不等于符号 $>$ 改为等于符号 $=$，得到 $ax +ab\frac{c}{b} + by = c$。

步骤二：求解不等式中的参数在标准形式的基础上，解不等式中的参数有助于确定解集的取值范围。

通过对参数进行分析和运算，可以得到参数的取值范围，进而确定不等式的解集。

步骤三：确定不等式的解集根据参数的取值范围，可以确定不等式的解集。

根据参数的限制条件，可以得到不等式的解集是一个或多个区间，或者是特定的取值。

结论含参二元一次不等式的解法可以通过将不等式转化为标准形式并求解参数的方法来实现。

这种解法能够帮助我们更准确地描述变量的取值范围，从而更好地分析问题的解空间。

注意：本文所提供的解法仅适用于简单的含参二元一次不等式，对于涉及复杂的法律问题的不等式，需要进行更深入的研究和分析。

请在使用本文提供的解法时，根据具体情况谨慎使用，并确保所引用的内容经过确认。

含参量不等式解法解析

含参量不等式解法解析一、含参量的一元二次不等式解法例1 解关于x的不等式ax2+2x+1＜0(ar)。

分析：对含参量的一元二次不等式的讨论首先讨论二次项系数，再判断“△”与零的关系。

一般还要对根的大小进行比较。

判断根的大小结合二次函数的图象写解集解：（1）当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞-■}。

（2）当a>0时，方程ax2+2x+1=0，△=4－4a。

①若△>0，即0时，方程ax2+2x+1=0的两个解为x1=■，x2=■，x1＜x2。

所以原不等式的解集为{|x＜■,或x＞■ }。

②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为{x|x≠-1}。

③若△1时，原不等式的解集为R。

④当a0，方程两个解为x1=■，x2=■，且x1>x2。

原不等式的解集为{x|■＜x＜■}。

总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式”△”进行讨论。

（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。

（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

二、含参数的绝对值不等式的讨论方法例2 解关于x的不等式|x2+2x-3|＞a。

错解：|x2+2x-3|＞a。

当x2+2x-3＞a时，解得x＞-1+■。

当x2+2x-3＜-a时，解得-1+■＜x＜-1+■。

剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a 进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a0时，原不等式等价于■＜0。

由于■>1，可解得1＜x＜■。

也可先确定两根，然后直接写出解集。

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

破解含参不等式恒成立的5种常用方法

破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。

对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。

一分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。

对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。

例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。

分析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。

解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。

)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。

于是工的取值范围为43-≥a 。

【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。

如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。

解这类问题时一定要注意区间的端点值。

二数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。

七年级下册数学含参不等式

七年级下册数学含参不等式
以下是七年级下册数学含参不等式的一些例子：
1. 解不等式：4x + 7 > 23
解法：首先将不等式转化为等价的形式：4x > 23 - 7，即 4x > 16
然后将不等式两边都除以4，得到 x > 4
因此，不等式的解集为 x > 4
2. 解不等式：2(3x + 5) ≤ 10
解法：首先将不等式括号内的式子展开：6x + 10 ≤ 10然后将不等式两边都减去10，得到6x ≤ 0
最后将不等式两边都除以6，得到x ≤ 0
因此，不等式的解集为x ≤ 0
3. 解不等式：3(x + 4) - 2x ≥ 1
解法：首先将不等式括号内的式子展开：3x + 12 - 2x ≥ 1然后将不等式两边都减去12，得到 x - 2 ≥ 1
再将不等式两边都加上2，得到x ≥ 3
因此，不等式的解集为x ≥ 3
这些例子展示了计算含参不等式的步骤，具体的题目可能会有不同的形式和操作，但解题思路大致相同。

在解不等式时，都是通过对不等式进行等式的转化和运算，最后确定不等式的解集。

一元一次含参不等式的解法

一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。

其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。

例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。

因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。

2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。

例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。

当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。

破解含参不等式问题的几个“妙招”

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

含参不等式组的解法

含参不等式组的解法在数学中，含参不等式组是一类常见的数学问题。

含参不等式组中含有未知数，并且不等式中的不等式常数（即系数和常数项）均含有参数，因此需要通过对参数的不同取值进行分析，得到不等式组的解。

在解决含参不等式组的问题时，需要掌握一些重要的技巧和方法，下面我们就来详细了解一下。

首先，对于含参不等式组，我们需要对其进行分类讨论。

一般情况下，含参不等式组可以分为两类：一类是一元不等式组，即只含有一个未知数的不等式组，另一类是多元不等式组，即含有多个未知数的不等式组。

对于不同类型的含参不等式组，需要采用不同的方法进行解答。

对于一元不等式组，我们常用的解题方法有以下几种：代数法、图像法、函数法、极值法等。

其中代数法是最常用的方法。

我们可以通过变量替换、置换、解方程等代数方法来找到解题的思路。

对于一元不等式组，我们还可以通过图像法来得到解的范围。

将不等式中的各项表示成两条直线，然后找到两条直线的交点，直线上方的部分即为不等式解的范围。

函数法是在原函数图像变形后的函数图像进行判断解的范围，其计算方法较为简单；而极值法则是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行判定，得出函数的极值，从而确定不等式的解。

对于多元不等式组，我们需要采用代数法、几何法、线性规划、拉格朗日乘数法等方法进行解决。

代数法仍然是最常用的方法。

我们需要采用类似于一元不等式组的代数方法，通过消元、替换、解方程等技巧，将多元不等式组转化为一元或二元不等式组，进而得到其解的范围。

几何法则是通过对多元不等式组中各项函数的几何特性进行分析。

利用二维平面或三维空间中的图像，可以清晰地表示出函数之间的关系，从而得到不等式的解。

线性规划是一种常用的数学方法，它可以找到满足约束条件的最优解，常用于工程、经济、管理等领域。

拉格朗日乘数法则是通过对函数的一阶偏导数等条件进行分析，并添加拉格朗日乘数来解决多元不等式组的问题。

总之，解决含参不等式组的问题需要掌握一些基本的解题方法和技巧，同时需要对数学知识有一定的理解和掌握。

含参的一元二次不等式的解法

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。

下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。

首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。

在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。

然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。

所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。

根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。

不等式组含参问题解法口诀

不等式组含参问题解法口诀不等式组含参问题是初中数学中比较重要和难点的一部分内容，不等式组含参有多种解法，这里介绍一些方法及其口诀。

一、图像法通过画出不等式组所对应的直线，在图像上判断交点位置的方法称为图像法。

步骤：1、根据不等式求出直线方程。

2、将直线画出。

3、根据问题中的参数值或限制条件，逐一判断交点位置。

4、找出合法的参数范围，即可得到不等式组的解。

口诀：直线而行，标志清晰。

参数解，交点全描。

于原点，交点证。

或无限，一致性。

例如：解不等式组x+y≥2k2x-y≤3k1、由不等式x+y≥2k 可得直线方程y≥-x+2k ，将其画出。

2、由不等式 2x-y≤3k 可得直线方程 2x-3k≤y，将其画出。

图像如下：3、根据参数k的取值，判断交点位置。

当k=0时，两条直线的交点为(0,2)，满足不等式组。

当k=1时，两条直线的交点为(1,1)，满足不等式组。

当k=2时，两条直线的交点为(2,0)，不满足不等式组。

4、所以，该不等式组的解为0≤k<2 。

二、代入法将一部分不等式中的变量用其他变量表示出来，然后代入另一不等式中去，消去被替换的变量，可以得到只含一个变量的不等式，从而求出参数的范围。

步骤：1、将其中一个不等式中的变量用另一个不等式中的变量表示出来。

2、将代入后的不等式化简，得到只含一种变量的不等式。

3、根据这个变量的取值范围，推出原来不等式组的解。

口诀：解纠结，化简薄。

一变化，再推进。

终得范，系统定。

例如：解不等式组m+n≥203m-2n≤151、将第二个不等式中的 n 用第一个不等式中的式子代入，得到 3m-2(m+n)≤15 。

化简得 m-2n+20≤0 。

2、得到只含 m 的一元一次不等式m≤2n-20 。

3、根据该不等式即可推出原来不等式组的解为n≤10,m≤0 或n≥10,m≥0 。

三、函数法通过将不等式中的变量用函数表达式表示出来，然后研究函数的性质，从而得到参数的取值范围。

含参不等式的解法教案

含参不等式的解法教案第一章：不等式概述1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，形式以及基本性质。

强调不等式与等式的区别。

1.2 不等式的分类分类介绍简单不等式、复合不等式、含参不等式等。

分析各种不等式的特点和求解方法。

第二章：简单不等式的解法2.1 符号规则介绍不等式中的符号规则，如“<”和“>”的转换。

强调不等式两边加减乘除同一数的规则。

2.2 解简单不等式利用符号规则，求解具体简单不等式。

举例讲解如何通过移项、合并同类项来求解简单不等式。

第三章：含参不等式的解法（一）3.1 含参不等式的概念解释含参不等式的定义，强调参数在不等式中的作用。

举例说明含参不等式的形式。

3.2 参数的分类讨论介绍参数在不同情况下对不等式解集的影响。

强调分类讨论的方法和步骤。

第四章：含参不等式的解法（二）4.1 利用图像解含参不等式介绍利用图像解含参不等式的方法。

举例讲解如何通过分析图像来确定不等式的解集。

4.2 利用代数方法解含参不等式介绍利用代数方法解含参不等式的方法。

举例讲解如何通过代数运算来求解含参不等式。

第五章：综合练习5.1 综合练习题提供一系列综合性的练习题，涵盖前四章的内容。

要求学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5.2 解答与解析提供练习题的解答和解析。

分析学生的常见错误，并进行讲解和指导。

第六章：含参不等式的应用6.1 应用背景介绍介绍含参不等式在实际问题中的应用背景。

强调含参不等式解决实际问题的方法和步骤。

6.2 案例分析提供具体案例，让学生运用含参不等式解决问题。

引导学生通过分析和计算，得出案例的解答。

第七章：含参不等式的转换与化简7.1 不等式的转换介绍如何将含参不等式进行转换，例如从一边不等式转换到另一边不等式。

举例讲解转换的方法和步骤。

7.2 不等式的化简介绍如何将含参不等式进行化简，例如合并同类项、消去参数等。

举例讲解化简的方法和步骤。

第八章：含参不等式的图像解法8.1 图像解法原理介绍含参不等式的图像解法原理。

含参不等式的解题方法与技巧

含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

不等式含参题型及解题方法初一下册

不等式含参题型及解题方法初一下册一、不等式含参题型介绍不等式含参题型是初中数学中的重要知识点，通常在初一下册的数学教学中进行学习和训练。

不等式含参题型是指含有未知数的不等式，通过对不等式进行变形求解未知数的取值范围。

二、不等式含参题型的解题方法1.确定不等式的类型和形式在解不等式含参题型时，首先要确定不等式的形式，包括一元一次不等式、一元二次不等式等等。

根据不等式形式的不同，采取相应的解题方法。

2.移项变形对于一元一次不等式，通常采用移项变形的方法进行求解。

通过在不等式两边进行加减运算，将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，从而得到未知数的取值范围。

3.化简并求解对于一元二次不等式，通常需要先将不等式进行化简，然后再通过代数方法或图像法求解。

化简包括合并同类项、配方等步骤，通过化简后的形式求解未知数的取值范围。

4.运用不等式性质在解不等式含参题型时，还可以运用不等式的性质进行求解。

常用的不等式性质包括加法性质、乘法性质等，通过这些性质对不等式进行变形和运算，从而得到未知数的取值范围。

5.综合运用在实际的不等式含参题型中，通常需要综合运用以上的方法进行求解。

需要根据具体的不等式形式和题目要求，选择合适的解题方法进行求解，从而得到正确的结果。

三、不等式含参题型的典型例题及解析题目一：已知不等式2x + 3 < 7，求x的取值范围。

解析：首先将不等式进行移项变形，得到2x < 4。

然后将不等式两边都除以2，得到x < 2。

所以不等式2x + 3 < 7的解集为x < 2。

题目二：已知不等式x^2 - 3x + 2 > 0，求x的取值范围。

解析：首先将不等式进行化简，得到(x-1)(x-2) > 0。

然后通过代数方法或图像法对不等式进行求解，得到x < 1或x > 2。

所以不等式x^2 - 3x + 2 > 0的解集为x < 1或x > 2。