2020高一数学必修一：函数周期性及其图像变换(1对1讲义)

函数周期性及其图像变换

一、知识梳理

1.周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【例题精讲】

例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

【归纳总结】

1. 周期性常用的结论：

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝1

f x

，则T＝2a；

(3)若f (x ＋a )＝－

1

f x

，则T ＝2a .

2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．

变式训练：设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32＝________.

例2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；

(2)若f (x )＝x (0

例3、设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝

⎩⎨⎧

ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1

，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，则a ＋3b 的值为________．

题型二、函数的图像及变换

(一)、利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数

解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．(二)、利用基本函数的图象作图

1．平移变换

(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．

(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．

2．对称变换

(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．

(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．

(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．

(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．

3．伸缩变换

(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．

(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的

1

a

倍，纵坐标不变而得到．

根据解析式作函数的图象

例1、作出下列函数的图象：

(1) y＝

x3

|x|

； (2) y＝

x＋2

x－1

；

变式训练：

1、画出函数y＝x2－2|x|－1的图象：

2、函数y＝x|x|的图象大致是( )

识图与辩图

例2、已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )

【总结归纳】

“看图说话”常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

变式训练：

1、如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝

⎛⎭

⎪⎫

1f 3的值等于________．

函数图象的应用

例3、已知函数y ＝|x 2－1|

x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实

数k 的取值范围 是________．

【题后悟道】

所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y ＝|x 2－1|x －1的图象，然后利用图象直观确定直

线y ＝kx －2的位置．作图时应注意不包括B 、C 两点，而函数y ＝kx －2的图象恒过定点A (0，－2)，直线绕A 点可以转动，直线过B 、C 两点是关键点． 变式训练：

1．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．

题型三、抽象函数问题

1．抽象函数的函数值