随机过程作业题及参考答案

第一章 随机过程基本概念

P39

1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解：

1o 当0cos 0t ω=，02

t k π

ωπ=+

，即0112t k πω⎛⎫=

+ ⎪⎝⎭

（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2o 当0cos 0t ω≠，02

t k π

ωπ≠+

，即0112t k πω⎛⎫

≠

+ ⎪⎝⎭

（k z ∈）时， ()~01X N Q ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.

()[]()22

000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.

()()20~0cos X t N t ω∴，.

则(

)2202cos x t

f x t ω-

=

；.

2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为

()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面

假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为

12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112

F x x ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

，；，

。

00

11101222

11

<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫

⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x

()(){}0111112212

<-⎧⎪⎪

∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x

随机矢量()112⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬

⎪

⎝⎭⎩⎭，P X X ，()11

11222

⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X . ()1212111122⎧⎫⎛

⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭

，；，，F x x P X x X x

12121212001

1

0110122112

<<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x

3. 设随机过程(){}

X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线

()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，

且()()()1231

3

P P P ωωω===。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ，。

()()1111

1sin cos 1sin cos 3333

EX t t t t t =⨯+⨯+⨯=++.

()()()1212X R t t E X t X t =⎡⎤⎣⎦，

1212111

11sin sin cos cos 333t t t t =⨯⨯+⨯+⨯ ()12121

1sin sin cos cos 3t t t t =++ ()1211cos 3=+-⎡⎤⎣

⎦t t .

4. 设随机过程()Xt

X t e

-=，（0t >），其中X 是具有分布密度()f x 的随机变量。试求

()X t 的一维分布密度。

解：

()X t 的一维分布函数为：

()(){}{}{}1ln ln -⎧⎫

=≤=≤=-≤=≥-⎨⎬⎩⎭

；Xt F x t P X t x P e x P Xt x P X x t

111ln 1ln ⎧⎫⎛⎫

=-<-=--⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭

P X x F x t t .

Q X 具有分布密度()f x ， ()∴X t 的一维分布密度为：

()()11111ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

'==--⋅⋅-=-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

；；f x t F x t f x f x t x

t tx t . P40

5. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间()0T ，中的均匀分布。试求随机过程的数学期望()EX t 和自相关函数()12X R t t ，。

解：由题意得，随机变量X 的密度函数为

()1

00X x T

f x T

⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它

由定义，

()()0

00111

T

T Xt tx

tx tx T

EX t E e e dx e d tx e T Tt Tt

----⎡⎤==⋅=--=-⎣⎦⎰

⎰

()()11

11Tt Tt e e Tt Tt

--=-

-=-. （0t >） ()()()()1212

1212X t t Xt Xt X R t t E X t X t E e e E e -+--⎡⎤⎡⎤==⋅=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， ()()()()1212120

012111T

T x t t x t t e dx e d x t t T T t t T

-+-+=⋅

=-⋅-+⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ ()

()

()()12120

12121

11x t t T t t T e e T t t T t t -+-+⎡⎤=-

=-

-⎣

⎦++

()()121211T t t e T t t -+⎡⎤=

-⎣

⎦+.

9. 给定随机过程(){}

X t t -∞<<+∞，。对于任意一个数x ，定义另一个随机过程

()()()10X t x Y t X t x

≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，

试证：()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数（两个自变量都取x ）。

证明：设()1f x t ，和()21212f x x t t ，；，分别为()X t 的一维和二维概率函数，则

()()()()()()111x

Y m t E Y t y t f x t dx f x t dx F x t +∞

-∞

-∞

====⎡⎤⎣⎦⎰

⎰

，，，.

()()()()1212122121212Y R t t E Y t Y t y y f x x t t dx dx +∞+∞

-∞

-∞

==⎡⎤⎣⎦⎰

⎰

，，；，

()()12

212121221212x x f x x t t dx dx F x x t t -∞-∞

==⎰

⎰

，；，，；，.