人教版A版必修一第三章函数的应用 函数与方程1

点个数是( C )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
解析 因ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0， 所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点， 即函数f(x)的零点个数为2.
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反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，
也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数 的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写 的一定是一个数字，而不是一个坐标.
思考5
请说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1); ③y＝2x；
④y＝2x－2的零点. 答 ①y＝lg x的零点是1；
②y＝lg(x＋1)的零点是0；
③y＝2x没有零点； ④y＝2x－2的零点是1.
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例1
已知函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ，若 ac ＜ 0 ，则函数 f(x) 的零
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填要点·记疑点 1.函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的 实 数 x 叫 做 函 数 y ＝ 零点 f(x)的 .
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0 有实数根 ⇔函数y＝f(x)的图象 与x轴有交点⇔
函数y＝f(x) 有零点 .
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a 1 令 bx －ax＝0，得 x＝0 或 x＝ ＝－ . 2 b
2
答案 A
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探究点二 函数零点存在性定理
思考1 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3 的图象，发现这个二次函数在区间 [－2,1]上有零点－1，而f(－2)＞0， f(1)＜0，即f(－2)· f(1)＜0.二次函数
下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图 ( 即
一个连续不间断的函数图象 ) ，由于图象中有一段被墨水污染了， 你能帮助他做出正确判断吗？
有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，
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探究点一 函数零点的定义
思考1 考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
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跟踪训练 1
若函数 f(x) ＝ ax ＋ b(a≠0) 有一个零点为 2 ， )
那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(
1 A.0，－ 2 C.0,2
1 B.0， 2 1 D.2，－ 2
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a 1 解析 ∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0， ＝－ . 2 b
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1; (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的 坐标.
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答
方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0
即存在 c∈(a ， b) ，使得 f(c) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0的根.
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思考2
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，
上述定理成立吗？ 答 不一定成立，由下图可知.
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思考 3
反过来，如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b]上的图象是
3.函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的 一 条曲线，并且有
f(a)· f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 ，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，
(a，b)内
有零点
这个c也就是方程f(x)＝0的根.
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探要点·究所然 情境导学
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图象
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方程的 实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
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思考2 从你所列的表中你能得出什么结论？
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点 1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间
的关系.
2.掌握函数零点存在性判定定理. 3.能结合图象求解零点问题.
明目标、知重点
连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，
f(a)· f(b)<0是否一定成立？
答 不一定成立，由下图可知.
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思考 4
如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，满足了上述两个条件后， 函数的零点是唯一的吗？ 还要添加什么条件可以保证函 数有唯一零点？ 答 函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝ f(x)在区间[a，b]上单调.
在区间[2,4]上有零点3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)· f(4)＜0.
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
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答
函数零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间
[a ， b] 上的图象是连续不断的一条曲线 ，并且有
f(a)· f(b)<0，那么函数 y ＝ f(x) 在区间 (a， b) 内有零点，
y＝f(x)的零点.
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思考4
函数y＝f(x)的零点、f(x)＝0的根及y＝f(x)的图
象与x轴交点的横坐标有什么关系？
答
函数 y ＝ f(x) 有零点 ⇔ 函数 y ＝ f(x) 的图象与 x 轴有
交点⇔方程f(x)＝0有实数根.
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答
方程根的个数与对应函数与 x 轴交点的个数相同，
方程的根是函数与x轴交点的横坐标.
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思考3
我们把使函数f(x)＝x2－2x－3的值等于零的实数
－1,3叫做函数f(x)＝x2－2x－3的零点.那么请你给函数y＝ f(x)的零点下个定义.
答
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数