2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第3章 §3.2 导数与函数的单调性

§3.2导数与函数的单调性

考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

知识梳理

1．函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

常用结论

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．

2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)

(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(√)

(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(×)

(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√)

教材改编题

1．f ′(x )是f (x )的导函数，若f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )

答案 C

解析 由f ′(x )的图象知， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， ∴f (x )单调递增；

当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0，∴f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )单调递增．

2．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为________． 答案 (1，＋∞)

解析 f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝(x －1)e x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．

3．若函数f (x )＝13x 3－3

2x 2＋ax ＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a 的值为________．

答案 －4

解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )的单调递减区间为[－1,4]，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]，

∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根， 则a ＝(－1)×4＝－4.

题型一 不含参数的函数的单调性

例1 (1)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)

答案 A

解析 ∵f ′(x )＝2x －2

x

＝

2(x ＋1)(x －1)

x

(x >0)，

令f ′(x )＝0，得x ＝1，

∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．

(2)若函数f (x )＝ln x ＋1

e x ，则函数

f (x )的单调递减区间为________．

答案 (1，＋∞)

解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1

x

－ln x －1e x

，

令φ(x )＝1

x －ln x －1(x >0)，

φ′(x )＝－1x 2－1

x

<0，

φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x ∈(0,1)时，φ(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，φ(x )<0，

∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 教师备选

(2022·山师附中质检)若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭

⎫

22，12，则函数g (x )＝f (x )e x 的单调递增区间为( ) A ．(0,2)

B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)

C ．(－2,0)

D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) 答案 A

解析 设f (x )＝x α，代入点⎝⎛⎭

⎫

22，12，

则⎝⎛

⎭⎫22α＝1

2

，解得α＝2， ∴g (x )＝x 2

e

x ，

则g ′(x )＝2x e x －x 2e x e 2x ＝x (2－x )

e x ，

令g ′(x )>0，解得0

∴函数g (x )的单调递增区间为(0,2)．

思维升华 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 跟踪训练1 (1)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π6，⎝⎛⎭

⎫5π

6，π 解析 f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)． 令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π

6，

当0

6时，f ′(x )>0，

当π6

6时，f ′(x )<0， 当5π

6

0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6和⎝⎛⎭⎫5π6，π上单调递增，在⎝⎛⎭

⎫π6，5π

6上单调递减． (2)函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案 (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2) 解析 f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2)，