汽车振动分析作业习题与参考答案更新
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1、 方波振动信号的谐波分析,。绘制频谱图。
解:()x t 的数学表达式可写为: 计算三要素:
()a n =0
=1
2sin n n n t b T π∞
=∑=
0142sin n x n t n
T ππ∞
=∑,n=1,3,5, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,02T
t <<或2
T
t T << 振幅频谱图 相位频谱图
2、 求周期性矩形脉冲波的复数形式的傅立叶级数,绘频谱图。
解: 数学表达式:
计算三要素:
傅立叶级数复数形式: 频谱图 2.1解: (1)能量法 (2)能量法
()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤-=2
202222000
00
T t t t t t x t t T t x 偶函数
()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=0
2/2/00
t T T t x x
t x
(3)固有频率 2.3解:
平衡位置系统受力如图 则122,2F G F G == 弹簧1k 变形112G x k =
,弹簧变形22
2G
x k =,且m 静位移1222x x x =+ ∴
固有圆频率
p =
=2.5解
对数衰减率:111110ln ln 0.06920 2.5
j A j
A δ+===
相对阻尼系数:0.011ζ=
=
=
衰减系数:0.314n n ζωζ
ζ===== 阻尼系数:220.3149 5.652(/)c nm N s m ==⨯⨯= 临界阻尼: 5.652
513.8(/)0.011
c c
c N s m ζ
==
= 2.7解
受力分析如图
-xs ’)
单自由度振动系统振动微分方程 设iwt cs x e =,则()c cs x H x ω=
()H ω=
,相位差角:12
2tan (
)12
ζλπ
ϕλ-=--
其中,n ωλ
ω=
=,ζ= 2.8 解:
1、 系统的振动微分方程为:0=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+++•
•
•s x x k kx x c x m
即:s kx kx x c x m =++2
激励函数为:()T t t T
d
k kx s ≤≤=0 傅立叶级数三要素:
所以,激励函数的前四项为: 系统稳态响应的前三项为:
]
)
6()91(3)3sin()4()41(2)2sin()2()1()sin([24)2()1(2)sin(42
2
232
22222213
12222ζλλψζλλψζλλψπλζλψ+--+
+--+
+---=+--+=∑=wt wt wt d
d n n k nwt b d x n n n 其中3,2,1,12arctan
2
2=-=n n n n λ
λ
ζψ 2.9 解:运用杜哈美积分法 4.1解 直接法
其中,12
22
23k k k K k k k +-⎡⎤
=⎢
⎥-+⎣⎦
拉格朗日法
系统为无阻尼自由振动系统,拉格朗日方程形式为:
0i i i
d T T U
dt q q q δδδδδδ⎛⎫-
+= ⎪⎝⎭ 广义坐标为:12,x x 影响系数法 令121,0x x == 令120,1x x == 4.2解:直接法 4.3解
a ,12
3
4m m M m m ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12
2223
333444
4k k k k
k k k K k k k k k k +-⎡⎤⎢⎥-+-⎢
⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ b ,12
3
4m m M m m ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2
222333
3444
4k k k k k k K k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ c ,123
4m m M m m ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦,12222333
344443k k k k k k k K k k k k k k k +-⎡⎤
⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥
-+-⎢⎥-+⎢⎥⎣
⎦
4.4解:
质心位于距左端34l 处0324l m xdx ml l x l m ⎛⎫
+ ⎪==
⎪ ⎪
⎝⎭
⎰ 令1,0x θ== 令0x =,1θ=
∴刚度矩阵为,22252
8kl k
K kl kl ⎡⎤
-
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
令1,0x θ== 令0,1x θ==
∴质量矩阵为,2
20
5024m
M ml ⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎣
⎦ 特征矩阵为,2
2
222222552824n n n
kl k m H K M kl kl ml ωωω⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
将20n H K M ω=-=整理为,22422221
440335
n n m l l km k l ωω-+=
求得特征值为,
2120.735k k m m ω⎛
=-≈ ⎝
,2
22 3.265k k m
m ω⎛=+≈ ⎝ 2
n H K M ω=-的伴随阵,222
2
558242
222n n kl kl ml adjH kl k m ωω⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢
⎥
-⎢⎥⎣⎦
将22120.735, 3.265k
k m m
ωω==代入
得对应特征向量,1211,1.0599.06A A l l ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
则主振型矩阵为,1
1
1.059
9.06A l l ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 模态质量矩阵为 模态刚度矩阵为
归一化因子为,i α=
=
∴
归一化因子方阵,0.669
000.229R ⎤=⎥⎦ ∴正则振型矩阵为,