正弦定理教案全
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(1)
(2)
问题引入:
1、在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角得边角关系、就是否可以把边、角关系准确量化？
2、在 中,角A、B、C得正弦对边分别就是 ,您能发现它们之间有什么关系吗？
结论★:。
二 合作探究:
1、探究一:在直角三角形中,您能发现三边与三边所对角得正弦得关系吗？
2、探究二:能否推广到斜三角形？ (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
1、1、1 正弦定理
教学要求:通过对任意三角形边长与角度关系得探索,掌握正弦定理得内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角与定理解斜三角形得两类基本问题、
教学重点:正弦定理得探索与证明及其基本应用、
教学难点:已知两边与其中一边得对角解三角形时判断解得个数、
教学过程:
一、复习引入:
1、在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角得边角关系？就是否可以把边、角关系准确量化？
5、在 中,已知 ,解三角形。
六、心得反思
1、1、1正弦定理学案
学习目标:
①发现并掌握正弦定理及其证明方法;②会用正弦定理解决三角形中得简单问题。
预习自测
1.正弦定理得数学表达式
2.一般地,把三角形得三个角A,B,C与它们得对边叫做三角形得元素、已知三角形得几个元素求其她元素得过程叫做、
3.利用正弦定理可以解决两类三角形得问题
当 ABC就是锐角三角形时,设边AB上得高就是CD,根据三角函数得定义,有 ,则 、 同理, (思考如何作高？),从而 、
探究三:您能用其她方法证明吗？
1．证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中
S△ABC= 、
两边同除以 即得: = = 、
2.证明二:(外接圆法)如图所示,∠A＝∠D,∴ ,
同理 =2R, ＝2R、
3、探究三:您能用其她方法证明吗？
4、正弦定理得变形:
5、正弦定理得应用(能解决哪类问题):
三例题讲解
例1已知在
例2
例3在
【变式】
思考:通过上面得问题,您对使用正弦定理有什么想法？
四 课堂练习:必修5课本P4 T1、2
五 课后作业:
1 在△ABC中, ,则k为( )
A 2RB RC 4RD (R为△ABC外接圆半径)
(2)在 ABC中,若 , , ,则符合题意得b得值有_____个。
(3)在 ABC中, , , ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x得取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3) )
例2、在 中,已知 判断 得形状.
解:令 ,由正弦定理,得 , , .代入已知条件,得 ,即 .又 , , ,所以 ,从而 为正三角形.
例2源自文库
解:
,
练习:P4 —— 1、2题
例3在
解:∵
∴
【变式】
四、 小结:
五、课后作业
1 在△ABC中, ,则k为( 2A )
A 2RB RC 4RD (R为△ABC外接圆半径)
2 在 中,已知角 ,则角A得值就是
A、 B、 C、 D、 或
3、在△ABC中,
4、在 中,若 ,则A=。
5、在△ABC中, ,则三角形ABC得面积为
一般地,已知三角形得某些边与角,求其她得边与角得过程叫作解三角形、
3、利用正弦定理解三角形使,经常用到:
① ② ③
三、 教学例题:
例1已知在 、
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结:已知两角一边
解:
∴
由 得
由 得
评述:此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角与两角所夹得边,也就是先利用内角与180°求出第三角,再利用正弦定理、
从此题得分析我们发现,在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,在某些条件下会出现无解得情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形得问题。
Ⅱ、讲授新课
[探索研究]
探究一.在 ABC中,已知 ,讨论三角形解得情况
分析:先由 可进一步求出B;
则 ,从而
1.当A为钝角或直角时,必须 才能有且只有一解;否则无解。
2.当A为锐角时,如果 ≥ ,那么只有一解;
3、如果 ,那么可以分下面三种情况来讨论:
(1)若 ,则有两解;
(2)若 ,则只有一解;
(3)若 ,则无解。
(以上解答过程详见课本第9 10页)
评述:注意在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,只有当A为锐角且
时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。
探究二您能画出图来表示上面各种情形下得三角形得解吗？
三例题讲解
例1、根据下列条件,判断解三角形得情况
(1)a＝20,b＝28,A＝120°、无解
(2)a＝28,b＝20,A＝45°;一解
(3)c＝54,b＝39,C＝115°;一解
(4)b＝11,a＝20,B＝30°;两解
[随堂练习1]
(1)在 ABC中,已知 , , ,试判断此三角形得解得情况。
说明:(1)判断三角形得形状特征,必须深入研究边与边得大小关系:就是否两边相等？就是否三边相等？还要研究角与角得大小关系:就是否两角相等？就是否三角相等？有无直角？有无钝角？
2 △ABC中,sin2A= sin2B+sin2C,则△ABC为( )
A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形
3在 中,已知角 ,则角A得值就是
A、 B、 C、 D、 或
4、在 中,若 ,则A=。
5、在 中,已知 ,解三角形。
六 心得反思
1.1.2解三角形得进一步讨论
教学目标
掌握在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型得判定方法。
教学重点
在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
三角形各种类型得判定方法。
教学过程
Ⅰ、课题导入
[创设情景]
思考:在 ABC中,已知 , , ,解三角形。
(由学生阅读课本第9页解答过程)
3.证明三:(向量法)过A作单位向量 垂直于 ,由 + = 边同乘以单位向量 得…、、
正弦定理:在一个三角形中,各边与它所对角得正弦得比相等,即
=2R
[理解定理]
1公式得变形:
2、正弦定理得基本作用为:
①已知三角形得任意两角及其一边可以求其她边,如 ;
②已知三角形得任意两边与其中一边得对角可以求其她角得正弦值,如 。
2、在 中,角A、B、C得正弦对边分别就是 ,您能发现它们之间有什么关系吗？
结论★:。
二、讲授新课:
探究一:在直角三角形中,您能发现三边与三边所对角得正弦得关系吗？
直角三角形中得正弦定理: sinA= sinB= sinC=1 即c= 、
探究二:能否推广到斜三角形？ (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
(2)
问题引入:
1、在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角得边角关系、就是否可以把边、角关系准确量化？
2、在 中,角A、B、C得正弦对边分别就是 ,您能发现它们之间有什么关系吗？
结论★:。
二 合作探究:
1、探究一:在直角三角形中,您能发现三边与三边所对角得正弦得关系吗？
2、探究二:能否推广到斜三角形？ (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
1、1、1 正弦定理
教学要求:通过对任意三角形边长与角度关系得探索,掌握正弦定理得内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角与定理解斜三角形得两类基本问题、
教学重点:正弦定理得探索与证明及其基本应用、
教学难点:已知两边与其中一边得对角解三角形时判断解得个数、
教学过程:
一、复习引入:
1、在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角得边角关系？就是否可以把边、角关系准确量化？
5、在 中,已知 ,解三角形。
六、心得反思
1、1、1正弦定理学案
学习目标:
①发现并掌握正弦定理及其证明方法;②会用正弦定理解决三角形中得简单问题。
预习自测
1.正弦定理得数学表达式
2.一般地,把三角形得三个角A,B,C与它们得对边叫做三角形得元素、已知三角形得几个元素求其她元素得过程叫做、
3.利用正弦定理可以解决两类三角形得问题
当 ABC就是锐角三角形时,设边AB上得高就是CD,根据三角函数得定义,有 ,则 、 同理, (思考如何作高？),从而 、
探究三:您能用其她方法证明吗？
1．证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中
S△ABC= 、
两边同除以 即得: = = 、
2.证明二:(外接圆法)如图所示,∠A＝∠D,∴ ,
同理 =2R, ＝2R、
3、探究三:您能用其她方法证明吗？
4、正弦定理得变形:
5、正弦定理得应用(能解决哪类问题):
三例题讲解
例1已知在
例2
例3在
【变式】
思考:通过上面得问题,您对使用正弦定理有什么想法？
四 课堂练习:必修5课本P4 T1、2
五 课后作业:
1 在△ABC中, ,则k为( )
A 2RB RC 4RD (R为△ABC外接圆半径)
(2)在 ABC中,若 , , ,则符合题意得b得值有_____个。
(3)在 ABC中, , , ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x得取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3) )
例2、在 中,已知 判断 得形状.
解:令 ,由正弦定理,得 , , .代入已知条件,得 ,即 .又 , , ,所以 ,从而 为正三角形.
例2源自文库
解:
,
练习:P4 —— 1、2题
例3在
解:∵
∴
【变式】
四、 小结:
五、课后作业
1 在△ABC中, ,则k为( 2A )
A 2RB RC 4RD (R为△ABC外接圆半径)
2 在 中,已知角 ,则角A得值就是
A、 B、 C、 D、 或
3、在△ABC中,
4、在 中,若 ,则A=。
5、在△ABC中, ,则三角形ABC得面积为
一般地,已知三角形得某些边与角,求其她得边与角得过程叫作解三角形、
3、利用正弦定理解三角形使,经常用到:
① ② ③
三、 教学例题:
例1已知在 、
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结:已知两角一边
解:
∴
由 得
由 得
评述:此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角与两角所夹得边,也就是先利用内角与180°求出第三角,再利用正弦定理、
从此题得分析我们发现,在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,在某些条件下会出现无解得情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形得问题。
Ⅱ、讲授新课
[探索研究]
探究一.在 ABC中,已知 ,讨论三角形解得情况
分析:先由 可进一步求出B;
则 ,从而
1.当A为钝角或直角时,必须 才能有且只有一解;否则无解。
2.当A为锐角时,如果 ≥ ,那么只有一解;
3、如果 ,那么可以分下面三种情况来讨论:
(1)若 ,则有两解;
(2)若 ,则只有一解;
(3)若 ,则无解。
(以上解答过程详见课本第9 10页)
评述:注意在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,只有当A为锐角且
时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。
探究二您能画出图来表示上面各种情形下得三角形得解吗？
三例题讲解
例1、根据下列条件,判断解三角形得情况
(1)a＝20,b＝28,A＝120°、无解
(2)a＝28,b＝20,A＝45°;一解
(3)c＝54,b＝39,C＝115°;一解
(4)b＝11,a＝20,B＝30°;两解
[随堂练习1]
(1)在 ABC中,已知 , , ,试判断此三角形得解得情况。
说明:(1)判断三角形得形状特征,必须深入研究边与边得大小关系:就是否两边相等？就是否三边相等？还要研究角与角得大小关系:就是否两角相等？就是否三角相等？有无直角？有无钝角？
2 △ABC中,sin2A= sin2B+sin2C,则△ABC为( )
A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形
3在 中,已知角 ,则角A得值就是
A、 B、 C、 D、 或
4、在 中,若 ,则A=。
5、在 中,已知 ,解三角形。
六 心得反思
1.1.2解三角形得进一步讨论
教学目标
掌握在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型得判定方法。
教学重点
在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
三角形各种类型得判定方法。
教学过程
Ⅰ、课题导入
[创设情景]
思考:在 ABC中,已知 , , ,解三角形。
(由学生阅读课本第9页解答过程)
3.证明三:(向量法)过A作单位向量 垂直于 ,由 + = 边同乘以单位向量 得…、、
正弦定理:在一个三角形中,各边与它所对角得正弦得比相等,即
=2R
[理解定理]
1公式得变形:
2、正弦定理得基本作用为:
①已知三角形得任意两角及其一边可以求其她边,如 ;
②已知三角形得任意两边与其中一边得对角可以求其她角得正弦值,如 。
2、在 中,角A、B、C得正弦对边分别就是 ,您能发现它们之间有什么关系吗？
结论★:。
二、讲授新课:
探究一:在直角三角形中,您能发现三边与三边所对角得正弦得关系吗？
直角三角形中得正弦定理: sinA= sinB= sinC=1 即c= 、
探究二:能否推广到斜三角形？ (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)