高考数学艺术生复习资料

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 。 （2）集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N * 、 N + ；整数集 Z ；

有理数集 Q 、实数集 R 。

（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；

}

12|),{(2++==x x y y x C }

12|{2++==x x x x D ；

},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；

}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x

y

z x x y z G =++==

（5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2

=--=x ax x A ，如果φ=+

R A ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算

（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）⋂{ ∈且∈} ⋃{ ∈或∈}；

I

{ x ∈ I 且∉}

（3）对于任意集合B A ,，则：

①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆； ②⇔=A B A ⊆；⇔=A B A ⊆ ；

⇔=U B A C U ⋃∅；⇔=φB A C U ⋂；

③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =； （4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 21, (k Z ∈)；

②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 31(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 32(k Z ∈)；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数

是2n -1，所有非空真子集的个数是2n -2。 （2）B A 中元素的个数的计算公式为：

=)(B A Card -+CardB CardA )(B A Card ⋂；

（3）韦恩图的运用：

四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若⇒⇒；则p 是q 的充分非必要条件B A ⊆⇔； 若⇒⇒；则p 是q 的必要非充分条件B A ⊇⇔； 若⇔；则p 是q 的充要条件B A =⇔；

若⇒⇒；则p 是q 的既非充分又非必要条件A B B A ⊄⊄⇔,； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的充要性；

注意：“若q p ⌝⇒⌝，则q p ⇒”在解题中的运用， 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的充分不必要条件。

六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

1．设(){}(){},46,,53,A x y y x B x y y x =

=-+==+-，则A

B =（1，2）

2．（P13练习5）设{

}

{

}

21,,21,,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈

{}2,,C x x k k Z ==∈则A B =A ，B C =∅，A C =R ，A B =A 。

3．（P14习题9）一个集合的所有子集共有n 个，若{}0,1,2,3,4,5n ∈，则n ={1,2.4} 4.（P14习题10）我们知道,如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{},s C A x x S x A =∈∉且．

类似地,对于集合，我们把集合叫{},x x A x B ∈∉且做集合Ａ，Ｂ的差集，记作Ａ－Ｂ．若{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则()()A B B A --=

{1,2.3.6.7.8}.若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系为⋂∅

5．（P17复习题6）已知集合[)()1,4,,,A B a A B ==-∞⊆，则a ∈+∞,4[) 6．（P17复习题8）满足{}

{}1,31,3,5A =的集合A 最多有4 个。

7．（P17复习题10）期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为45%。

8．（P17复习题11）设全集为U ，则()(),,U U U C A C A

B C A B 三者之间的关系为

()()U U U C A B C A C A B ⊆⊆

9．（P17复习题12）设A ，B 均为有限集，A 中元素的个数为m ，B 中元素的个数为n ，A

B

中的元素的个数s ，A B 中的元素的个数t ，则下列各式能成立的序号是(1)(2) （1）．m n s +> （2）．m n s += （3）．m n s +

10．（P17复习题13）对于集合A ，B ，我们把集合

(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯.例如，

{}{}1,2,3,4A B ==，则有

()()()(){}()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,A B B A ⨯=⨯=

()()()(){}()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4.A A B B ⨯=⨯=

据此，试解答下列问题：

（1） 已知{}{},1,2,3C a D ==，求C D ⨯及D C ⨯；

⨯{(a,1),(a,2),(a,3)} ⨯{(1),(2),(3)}

（2） 已知()(){}

1,2,2,2A B ⨯=，求集合A ，B ；{1,2}{2}

（3） 若A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ⨯有几个元素？12