【高考数学经典题型】抛物线与圆,求三角形面积最值(一题多解)

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试题出处：2020届湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联考（改编）

抛物线与圆，求三角形面积最值

若点P 是抛物线22x y =上的动点,点,M N 在x 轴上，圆22(1)1x y +−=内切于,PMN ∆求PMN ∆面积的最小值. 答案：8

解法一：动点设一个参数，利用勾股定理列等式

如图,不妨设点2(2,2)P t t (1)t >,圆心为C ,两切点为,D E .分别过点P 作PH x ⊥,作PG x 轴,过点M 作x 轴垂线与PG 交于点G ，且,OM m ON n ==. 在Rt PCE ∆中，由勾股定理得，

22222244(21)14PE PC CE t t t =−=+−−=，即22PE t =.

在Rt PNH ∆中，由勾股定理得222,PN PH NH =+ 即()2

24224(2)t n t t n +=+−，可得1

t n t =

+. 在Rt PMG ∆中，由勾股定理得222,PM PG GM =+ 即()2

24224(2)t m t t m +=++，可得1

t m t =

−. 42

224

122()211

21PMN

t S m n t t t t ∆∴=⋅+⋅==−− 又

2242111111()244

t t t −=−−+≥ ∴当22t =时，PMN S ∆有最小值8.

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解法二：动点设两个参数，利用直线与圆相切列等式 设00(,),(,0),(,0)P x y M a N b ，其中02y >且a b <.

∴直线PN 的方程为：0

0()y y x b x b

=−−， 直线PN 与圆相切，

∴圆心(0,1)到直线PN 的距离为1， ∴

1=

∴()2000220y b x b y −+−= 同理可得，

()2000220y a x a y −+−=.

∴实数,a b 是关于x 的一元二次方程()2000220y x x x y −+−=的两根， ∴0000222x a b y y a b y −⎧

+=⎪−⎪

⎨

−⎪⋅=

⎪−⎩

, ∴()()()

2222

000

2

044842x y y a b a b ab y +−−=+−=

−,

2002x y =

∴()()

2

2

02

042y a b y −=

−，0

022

y a b y −=

− 20000014

()248222

PMN

y S b a y y y y ∆∴=⋅−⋅==−++≥−− ∴当04y =时，PMN S ∆有最小值8.

解法三：动点设两个参数，利用内切圆性质列等式 设点00(,),(,0),(,0)P x y M a N b −圆心为(0,1)C ,两切点为,D E . 在Rt PCD ∆中，PD =

2002x y =，∴0PD y = PM PD DM PD MO =+=+

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∴

0y a =+，化简得200

0000

2()x y MO a y x y x ===−−

同理，可得200

0000

2()x y NO b y x y x ===++

00000000

11

()()22PMN y y S MO NO y y y x y x ∆∴=⋅+⋅=+⋅−+ 32000

220000424822

PMN

y y S y y x y y ∆∴===−++≥−−− ∴当04y =时，PMN S ∆有最小值8.

解法四：动点设一个参数、再设直线斜率，利用直线与圆相切列等式 设21

(,)(2)2P m m m >，直线,PM PN 的斜率一定存在，分别设其为12,k k ，

则直线PM 的方程为：211

()2

y m k x m −=−，

1=，

化简得：2234

2111(1)(2)04

m k m m k m m −+−+

−=……..① 同理可得：22342221

(1)(2)04

m k m m k m m −+−+−=……..②

∴实数12,k k 是关于x 的一元二次方程2234

21(1)(2)04

m x m m x m m −+−+−=的两根， ∴3122

42

122

21141m m k k m m m k k m ⎧−+=⎪−⎪

⎨−⎪

⋅=⎪−⎩

， 分别令方程①，②中的0y =，得21,2M m x m k =−2

2,2N m x m k =−

2221

1212

1122M N k k m m MN x x k k k k −=−=⋅−=

2412121228PMN

k k m m S MN k k ∆−∴=⋅⋅=⋅48m =

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化简得422

2116(48)82824

PMN

m S m m m ∆==−++≥−− ∴当28m =时，PMN S ∆有最小值8.

解法五：动点设两个参数，利用内切圆性质列等式

如图，设00(,),P x y 切点分别为,D E 且PMN ∆的内切圆半径1r = 则011()22PMN S MN y PM PN MN r ∆=

⋅=++⋅1

()2

PM PN MN =++ 1

()2

PMN S OM PE ON PE MN MN PE ∆∴=++++=+

MN MN =

=

0MN y MN =+≥01

2

y MN ∴⋅≥ 016y MN ∴⋅≥

01

82

PMN S y MN ∆∴=

⋅≥ ∴PMN S ∆有最小值8.

评论与赏析：

圆锥曲线中求三角形面积的最值一直是考试的热点、难点问题.解法1跳出了解析几何的大量计算，两次用勾股定理将线段长用动点中的参数表示出.解法2利用直线与圆相切的性质及韦达定理找到线段整体与动点中的参数的关系.解法3利用三角形内切圆的性质和坐标运算将线段长用动点中的参数表示出来.解法4设切线斜率利用韦达定理找到线段与动点中的参数的关系.解法5巧妙利用三角形内切圆性质、这一题的数量特点及基本不等式直接得出面积的最值.