高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量课件北师大版选修

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二、平面的法向量及其应用+课件-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

5
8
是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 =
2: 3: −4
x, y, z ，则 x: y: z = ___________.
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[解析] 因为 AB = 1, −3, −
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所以
x − 3y
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7
− z=
4
7
7
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−2x − y − z = 0，
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2
3
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是 AB ， BA ， A1 B1 ， DC ， C1 D1 等.每一个表面的法向量也有多个,例如平面 ABB1 A1 的法
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向量可以是 AD ， CB ， D1 A1 ， B1 C1 等.
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高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件4北师大版选修2_1

(3)化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析：如图所示，因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点．

2.3.2《空间向量基本定理》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1

2
2
= 1 AD + AC AB 2
（2）MN = 1 CD = 1 AD AC
2
2
EF MN = 1 AD + AC AB 1 AD AC
2
2
= 1
2
2
AD AC
=0
4
江西省新余市第一中学
刘斌
03 问题探究
如果向量e1 ,e2 ,e3是空间三个不共面的向量, a 是空间任一向量,
05 典例讲评
练习2 .如图，已知三棱锥O - ABC ,M 为 AB 中点, N为OM中点，OA OB OC 1 , 且OA,OB,OC 两两垂直，
(1)试用AO, AB, AC 表示CN ;
解: (1)
因为 CN = AN AC
= 1 AO AM AC 2
=
1 2
AO
1 2
AB
面的向量作为基底表 2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本
示其它向量，并解决定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.
一些简单问题
07 课后作业
1. O, A,B,C 为空间中的四点，且向量 OA,OB,OC 不能构成空间中的一个基底，则（） A. OA,OB,OC 共线 B. OA,OB 共线 C.OB,OC 共线 D.O, A,B,C四点共面
c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
则 a,b,c 构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①为真命题,构成基底的向量
必须不共面; ②为真命题;
③为假命题,a,b不共线,
当 c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,

2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)

(1) p xa yb p 与 a 、共面 ; b (2) p 与 a 、共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且，
则x+y=1是 P、A、B三点共线的：
OP xOA y AB
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
5.设点P在直线AB上并且
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量使的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件

→ —→ (2)〈AB，C1A1〉；解答〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学题型探求当堂训练
问题导学
知识点一空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行于向量a的直线.

2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章空间向量运算的坐标表示

[解析] 由已知可得：A→B＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，A→C＝(－2,2,3) －(2，－1,2)＝(－4,3,1)． (1)O→P＝12(A→B－A→C)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，32，－2)，所以 P 点的坐标为(3，32，－2)．
(2)设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．因为12(A→B－A→C)＝(3，32，－2)，所以A→P＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)，解得：x＝5，y＝12，z＝0，则 P 点的坐标为(5，12，0)．
[解析] (1)∵c∥B→C， ∴c＝mB→C＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3， ∴m＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝ 12＋12＋0＝ 2，|b|＝－12＋0＋22＝ 5， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得 k＝2 或 k＝－52.
3＋y－2z＝0
z＝1
∴向量 a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． (2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝ 22＋22＋32＝ 17，|b＋c|＝ 42＋02＋－12＝ 17， ∴a＋c 与 b＋c 所成角的余弦值为a|a＋＋cc|·|bb＋＋cc|＝157.
解析：(1)以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2， Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)． ∴B→Q＝(1，－1,1)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1＝(1，－1,2)，A→B1＝(－ 1,1,2)，C→1P＝12，12，0， ∴|B→Q|＝ 12＋－12＋12＝ 3.

2-1从平面向量到空间向量课件(北师大版选修2-1)

课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量垂直该平面的法向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一的平面？提示空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其中一个平面内考虑即可．
课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题，与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角：〈a，＝ 2 时，当 b〉向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b ；当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥b ．

2.1《从平面向量到空间向量》课件(北师大版选修2-1)

一、选择题（每题5分，共15分）
1.在空间向量中，下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等的向量是_______；与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与 BC′方向相同的向量
答案：CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的中点，所
以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由
两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂
1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形
ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点，则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形 ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为
垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE， ∵AC=BC，∴CF⊥AB. 又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE， ∴CD⊥平面ABE， ∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.

数学精致讲义选修2-1北师大版第二章空间向量与立体几何§33.1~3.2含答案

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量的坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二空间向量基本定理思考平面向量基本定理的内容是什么？答案如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理 (1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a ，b ，c 不共面．结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底．基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的判断答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c答案 D(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案 B解析使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．类型二空间向量基本定理的应用例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理解因为OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )．又因为GH →＝OH →－OG →， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .反思与感悟用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值．考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.类型三空间向量的坐标表示例3 (1)设{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________________．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)解析由于{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． (2)已知a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，求a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解因为a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)， e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，设a ＝αe 1＋βe 2＋λe 3，即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2α＋β＝3，－α＋β＋3λ＝4，α－β＋3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝76，β＝23，λ＝32，所以a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解为a ＝76e 1＋23e 2＋32e 3.反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 (1)在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 ⎝⎛⎭⎫－23，12，12 解析 ∵OM ＝2MA ，点M 在OA 上， ∴OM ＝23OA ，∴MN →＝MO →＋ON →＝－OM →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12b ＋12c .∴MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，12，12. (2)已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解因为P A ＝AD ＝AB ＝1，所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3. 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2，所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 D解析由AB →＝－i ＋j －k 只能确定向量AB →＝(－1,1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．2．在下列两个命题中，真命题是( )①若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案 A解析 ①为真命题；②中，由题意得a ，b ，c 共面，故②为假命题，故选A.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 A解析设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________．考点空间向量的正交分解题点空间向量在单位正交基底下的坐标答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，λ＝－12.5．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.考点空间向量的正交分解题点向量在单位正交基底下的坐标解延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎡⎦⎤12(PC →＋PD →) ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k . BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝⎛⎭⎫16AB →＋13AD →－13AP → ＝23AD →－23AB →＋13AP → ＝－23i ＋23j ＋13k .1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案 A解析单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直． 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 D3．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案 C解析 ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，∴a ，b ，OC →共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．4．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 A解析设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )．又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.5．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．0,0,1 B ．0,0,0 C ．1,0,1D ．0,1,0 考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案 B解析若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.6．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．不确定考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案 B解析对于①∵a －b 与a ，b 共面， ∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底．对于②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面，∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．7．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 A解析如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)， ∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1→的坐标为________，AC 1→的坐标为________．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 (0,2,1) (2,2,1)解析根据已建立的空间直角坐标系，知A (0,0,0)，C 1(2,2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1→的坐标为(2,2,1)．9．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 10．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案 (5,13，－3)解析由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即点D 坐标为(5,13，－3)．三、解答题11.如图所示，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理解 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→ ＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝12(OO ′－OC )＝12(c －b )． 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF →的坐标．考点空间向量的正交分解题点空间向量的坐标解设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴DB 1→＝(2,2,2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE →＝(2,2,1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0,1,0)．13．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．考点空间向量基底的概念题点空间向量的基本定理 (1)证明因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →，所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.四、探究与拓展14．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理答案 3a ＋3b －5c解析如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 15.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.考点空间向量的正交分解题点空间向量的坐标解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→＝12AA ′→＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→ ＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0.。

2-2空间向量的运算课件(北师大版选修2-1)

3．空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ． (2)交换律：a＋b＝ b＋a ． 4．数乘的定义空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个向量，记作 λa ． (1)|λa|＝ |λ||a| ．时，与 a 方向相反； λa
(2)当 λ>0 时，与 a 方向相同； λ<0 λa 当当λ＝0 时，λa＝0.
→ → → 解 (1)AB＋BC＝AC. → → → → → → → (2)AB＋AD＋AA1＝AB＋BC＋CC1＝AC1. → 1→ (3)在线段 CC1 上取中点 M，则有CM＝ CC1， 2 → → 1→ → → → → 则有：AB＋AD＋ CC1＝AB＋BC＋CM＝AM. 2 1 → → → 1→ (4)由(2)知 (AB＋AD＋AA1)＝ AC1，在线段 AC1 上取点 G，使 3 3 1 1 → → → → 得 AG＝ AC1，即： (AB＋AD＋AA1)＝AG. 3 3
• §2 空间向量的运算
【课标要求】 1．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义． 2．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理． 3．掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律． 4．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【核心扫描】 1．空间两个向量共线定理、空间向量的线性运算及数量积． (重点) 2．向量的数量积．(难点) 3．向量夹角与数量积的关系．(疑点)
b＝0 ． ②a⊥b⇔ a·
a·b ③cos〈a，b〉＝ |a||b| (a≠0，b≠0)． 7．向量 a 的单位向量 a 对于任意一个非零向量 a，把 |a| 叫做向量 a 的单位向量，记作a0 ，a0 与 a 方向相同．

2019-2020高中北师版数学选修2-1 目录课件PPT

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章末复习课章末综合测评(一)
§1 从平面向量到空间向量 §2 空间向量的运算 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理 3.3 空间向量运算的坐标表示 §4 用向量讨论垂直与平行
§5 夹角的计算 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角
§1 命题 §2 充分条件与必要条件
2.1 充分条件与必要条件 2.2 充分条件与判定定理 2.3 必要条件与性质定理 2.4 充要条件
§3 全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题逻辑联结词且”“或”“非” 4.1 逻辑联结词“且” 4.2 逻辑联结词“或” 4.3 逻辑联结词“非”
§6 距离的计算章末复习课章末综合测评(二)
§1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 1.2 椭圆的简单性质
§2 抛物线 2.1 抛物线及其标准方程 2.2 抛物线的简单性质
§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 3.2 双曲线的简单性质
§4 曲线与方程 4.1 曲线与方程 4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点

向量的坐标表示和空间向量的基本定理北师大版高中数学选修课件

D1 A1
ห้องสมุดไป่ตู้D A
C1 B1
C B
平面向量基本定理:
如果 e1 , e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有a 且只有一对实数 1 , 2
使 a1e12e2
说明：
(1)不共线的向量 e1 , e 2叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
(3) 任方一向向）量分解a 都成可两以个沿向两量个（不1共e1,线2的e）2方和向的（形式e1 ,；e的2
一、空间向量基本定理：
∴点的坐标是
.
的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.
(4)基底给定时,分解形式唯一.
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：
（1）当 cosa,b1时，a 与 b同向；（2）当 cosa,b1 时，a 与 b反向；（3）当 cosa,b0时， a b 。
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
D1F1
z
A1B1，求
4
B E 1与
D
F
所成的角的余弦值.
1
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 O xyz，则
B(1,1,0) , E11,43,1,
O
y

高中数学课件-2 1 从平面向量到空间向量

第二章 2.1
[点评] 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量A→A1平移至B→B1处，由于B→1C，B→B1的起点不相同，所以得到的∠BB1C 为应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！
第二章 2.1
如图， M ， N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD － A′B′C′D′的棱 BB′，B′C′的中点，求：
第二章 2.1
探索拓研创新
第二章 2.1
法向量
对于平行四边形 ABDC，图中的五个向量中各个向量之间的关系如何？在图中画出平行四边形 ABDC 的一个法向量．
[分析] 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平面内两个相交向量即可．
第二章 2.1
向量的有关概念
给出下列五个命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间两向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
第二章 2.1

第二章空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)

过 B、D 作 BA、DC 与两平面的交线垂直，连结 PA、QC，易求得 PA＝2，CQ＝4， → |PQ|＝ → 2)＝ PQ → → → 2 （PA＋AC＋CQ） )
＝＝
→2 → 2 → 2 → → PA ＋AC ＋CQ ＋2PA· ) CQ →2 20＋AC ＋2×2×4cos 120°)≥2 3.
专题三
空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
【例 3】如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝5，AD ＝8，AA1＝4，M 为 B1C1 上一点且 B1M＝2，点 N 在线段 A1D 上，A1D⊥AN. → → (1)求 cos〈A1D，AM〉； (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的余弦值； (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值．
高考真题 1．(2011· 上海)设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同 → → → → → 的点，则使MA1＋MA2＋MA3＋MA4＋MA5＝0 成立
解析
从特例入手，不妨令 A1，A2，A3，A4，A5 五点共线，且
解析
∵AC⊥平面 BB1D1D，又 BE 平面 BB1D1D，
∴AC⊥BE，故 A 正确． ∵B1D1∥平面 ABCD，又 E、F 在直线 D1B1 上运动， ∴EF∥平面 ABCD.故 B 正确． C 中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变，故△BEF 的面积为定 2 值．又点 A 到平面 BEF 的距离为 2 ，故 VABEF 为定值．C 正确．

北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)

3平均值不等式
4不等式的证明
5不等式的应用
第二章几个重妻的不等式
1柯西不等式
2排序不等式
3数学归纳法与贝努利不等式
选修4-6
第一章带余除法与书的进位制
1、整除与带余除法
2、二进制
第二章可约性
1、素数与合数
2、最大公因数与辗转相除法
3、算术基本定理及其应用
4、不定方程
第三章同余
1、同余及其应用
2、欧拉定理
2导数在实际问题中的应用
2.1实际问题中导数的意义
2.2最大、最小值问题（重、难点）
【5课时】
第四章定积分
1定积分的概念
1.1定积分背景-面积和路程问题（重点）
1.2定积分
2微积分基本定理
3定积分的简单应用（重点）
3.1平面图形的面积
3.2简单几何体的体积
【4课时】
第五章数系的扩充与复数的引入（重点）
2.2独立性检验
2.3独立性检验的基本思想
2.4独立性检验的应用（重点、难点）
【4课时】
第二章框图（重点，高考必考点）
1流程图
2结构图【1.5课时】
第三章推理与证明
1归纳与类比
1.1归纳推理
1.2类比推理
2数学证明
3综合法与分析法
3.1综合法
3.2分析法
4反证法【2课时】
第四章数系的扩充与复数的引入
重点15课时第二章空间向量与立体几何重点在解决立体几何方面有很大的帮助?1从平面向量到空间向量用向量讨论垂直与平行?5夹角的计算课时?第三章圆锥曲线与方程重点高考大题必考知识点?1椭圆?11椭圆及其标准方12椭圆的简单性质抛物线?21抛物线及其标准方程?22抛物线的简单性质双曲线?31双曲线及其标准方程32双曲线的简单性质曲线与方程41曲线与方程42圆锥曲线的共同特征43直线与圆锥曲线的交点课时?选修22?第一章推理与证明重点?1归纳与类比?2合法与分析法?3反证法?4数学归纳法2课时?第二章变化率与导数重点变化的快慢与变化率?2导数的概念及其几何意义21导数的概念?22导数的几何意义?3计算导数?4导数的四则运算法则?41导数的加法与减法法则?42导数的乘法与除法法则简单复合函数的求导法则2课时第三章导数应用重点?1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性?12函数的极值重难点导数在实际问题中的应用21实际问题中导数的意义?22最大最小值问题重难点课时第四章定积分?1定积分的概念11定积分背景面积和路程问题重点12定积分?2微积分基本定理定积分的简单应用重点?31平面图形的面积32简单几何体的体积课时第五章数系的扩充与复数的引入重点?1数系的扩充与复数的引入?11数的概念的扩展?12复数的有关概念?2复数的四则运算21复数的加法与减法22复数的乘法与除法?2课时选修23第一章计数原理重点?1

高中数学第二章空间向量与立体几何知识体系课件北师大版选修2-1

(1)证明：设 C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则 D(0，m,0)，E(12，m2 ，0)．可得P→E＝(12，m2 ，－n)，B→C＝(m，－1,0)．因为P→E·B→C＝m2 －m2 ＋0＝0，所以 PE⊥BC. (2)由已知条件可得 m＝－ 33，n＝1，故 C(－ 33，0,0)，D(0，－ 33，0)，E(12，－ 63，0)，P(0,0,1)．
【例 2】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ABC ＝90°，BC＝2，CC1＝4，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1＝1，D，F， G 分别为 CC1，C1B1，C1A1 的中点．
(1)求证：B1D⊥平面 ABD； (2)求证：平面 EGF∥平面 ABD； (3)求平面 EGF 与平面 ABD 的距离．
【解】以 A1 为原点，A1B1，A1D1，A1A 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．于是，A(0,0，
3＋1)，C1(1,1,0)，D(0,1， 3＋1)，E(1,0,1)，A→D＝(0,1,0)，E→C1 ＝(0,1，－1)．
因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C 和 AA1D1D 与平面
EGF
和平面
ABD
间距离为3
2
2 .
专题三直线与平面的位置关系问题【例 3】设 A，B，C 及 A1，B1，C1 分别是异面直线 l1，l2
上的三点，而 M，N，P，Q 分别是线段 AA1，BA1，BB1，CC1 的中点，求证：M，N，P，Q 四点共面．
【思路探究】 A，B，C及A1，B1，C1分别共线 → B→C＝λB→A，B→1C1＝tA→1B1 → P，Q为中点 → P→Q用B→1C1和B→C表示 → P→Q用B→A，A→1B1表示 → P→Q用N→M，N→P表示 → P，Q，M，N共面