第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

F g
张量分量对坐标的协变导数
★矢量场函数的梯度
F j i j i j F g F g g F g g 则右梯度： ;j i i; j j x 左梯度： F g j F F i g j g F g j g i ;j i i; j j x
引入新符号 j ; j 来表示矢量分量的协变导数
F i j j i F g F g g F g g ;j i i; j j x j F i g j gi j Fi g j g i
j
张量分量对坐标的协变导数
★矢量场函数的梯度 特殊矢量：矢径r，有
r r G
i ;j i ,j
注：只有在笛卡尔坐标系下才有 F F
张量场函数的散度和旋度
★矢量场函数F(r)的旋度
F F g k g k k Fi g i x mki gm k Fi
k
kim
gm k Fi
g1 1 1 g F1
g2 2 F2
g3 3 F3
张量场函数的散度和旋度
★矢量场函数F(r)的旋度
k
T T
张量场函数的散度和旋度
矢量场函数巨漂亮的结果
i m 1 g F F i m i m F;i i F im m F g x m x x
1 gF F x m g
m ;m

m
F

场论中的有势场满足 2U 0 ，其中U为势函数。
j mki mki j emki k Fi emki k Fi Fj ki e F e F k i j ki
F F g k g k k Fi g i x 1 mki mki gm k Fi e gm k Fi g
k
kim
gm k Fi
e k Fi
mki
1 mki 1 F e gm k Fi 1 g g F1
g1
g2 2 F2
g3 3 F3
张量场函数的散度和旋度
★张量场函数T(r)的旋度 T T k g k T ij ;k gi g j g k T ij ;k kjm gi gm x T k T g k g k Ti ;kj g i g j kimTi ;kj gm g j x
梯度的几何意义！ 取弧元ds，有方向导数：
r r xi
df dr f f t t f ds ds

张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得 dT T i T (r ) i g dr x
k
左梯度：
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
其中
T
ij ;k
T ij im j mj i k T mk T mk x
Tij ;k ຫໍສະໝຸດ Baidu
Tij
x k j Ti j j m j Ti ;k k Tm ik Ti m mk x T
i j ;k
从定义式，可探讨性质：
由于
g j
i i x x
r j x
2 2 gi r r i j j i j x x x x x
k ij kji
ij 共有18个独立的分量，且 ij 不是张量分量。 可证明，
k k
基矢量的导数，Christoffel符号
定义Laplace算子： 2 ( ) ( ) 即先求梯度，再计算散度。
张量场函数的散度和旋度 若矢量 F ，为标量，则
1 g i x g i i 而 F ，可推导出
2

i

F g x j
i ij
因此，可得
m Tim m T jk mj ik

T x
i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号 协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
T :(T ) T (T ):
★协变导数符号的灵活运用 T k T k g Tij ;k g i g j g k x
T k i j k i j T g g k Tij g g k Tij g g g k x k Tij g km gm g i g j
正交曲线坐标系中的物理分量
基矢量的导数，Christoffel符号

张量场函数：T(r)
r r x
i

T(r)之所以被称为场函数，是因为它是矢径r的函数。 在曲线坐标系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描 述gi随坐标的变化而变化？
r 基矢量 gi i 本身重要！ x
r
r r
x2
A

• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
第4章 曲线坐标张量分析
2015年4月18日
主要内容
基矢量的导数，Christoffel符号 张量场函数对矢径的导数、梯度 张量分量对坐标的协变导数 张量场函数的散度和旋度 积分定理
Riemann-Christoffel张量（曲率张量）
张量方程的曲线坐标分量表示方法
非完整系与物理分量
k
★矢量场函数F(r)的散度
F k i i divF F F k g F;i i F x
张量场函数的散度和旋度
★张量场函数T(r)的散度
T k k ij k ij T k g Tij g g g T g T ;k i j ;k i j ; j gi x T k ij k ij ij T g k g T;k gi g j i T;k g j T;i g j x
ki , j kj ,i ij ,k ik , j
jk ,i ji ,k
xi g ki x j
l ij kl
ij ,k
1 g jk gik gij i j k 2 x x x
g ij ,k


j ji
g g x
i

ln g xi

1 ln g
2 xi
张量场函数对矢径的导数、梯度
标量场函数f (r)的梯度 f f i i j df i dx i g g j dx x x j f i g dx 其中， i g 定义为f (r)的梯度 f ； j 即 dr 。 x f k k f df f d r 因此， f k g g x x k
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x
T T g i x
i
由此可得： dT (T ) dr dr (T )
张量分量对坐标的协变导数
为了计算
T ，则必须引入协变导数 x i
★矢量场函数的梯度
F ( F i gi ) F i i gi j gi F j j x x x x j F i k j gi F i ij gk x i F 矢量分量的协变导数 j gi F k ikj gi x i F i k i j F kj gi ;j i x
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号
逆变基矢量的导数
g i i k jk g j x
g 对坐标的导数， jji 的计算公式
g g1 , g2 , g3 g1 g2 g3

g j g ji i x
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T T ij gi g j Ti j gi g j T ij gi g j Tij gi g j
右梯度：
T k ij k j i k T k g T ;k gi g j g Ti ;k g g j g x T ij ;k gi g j g k Tij ;k g i g j g k T ij k j k i T g T g g g T g g gj ;k i j i ;k k x i k j k i j T j ;k g gi g Tij ;k g g g
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算
gij gi g j
gij x k g jk
gij
g j gi k g j gi k k x x x

基矢量的导数与Christoffel符号
第一类Christoffel符号 g j l l k l k k ij gk ij glk g ij ,k g ij ,k ij glk glk ij i x g j 定义式： ij , k gk 性质： ij ,k ji ,k i x g j k k 比较： ij g i x
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子， 即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子， 即Laplace算子。
A B
ij
kl ;m
但是一般来说， AB A B + A B


0
A Bkl A Bkl ;m
ij ;m ij

特殊张量2：置换张量

张量场函数的散度和旋度
从梯度开始理解散度和旋度
( ) ( ) g 梯度(gradient) k x ) k ( 散度(divergence) ( ) g x k ( ) k ( ) g 旋度(curl) x k
k
g km k Tij gm g i g j mTij gm g i g j
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x m m m ( ) m ( )
2
积分定理

从牛顿-莱布尼兹公式说起