山东大学 量子力学考研辅导(1)

2V0 a 2
/ 2
2
或
V0 a 2
22 8
﹟
18
1. 4 质量为 的粒子在一维势场
0 x0 V(x)( x)V', V' V 0 x0
V
0
0
x
中运动，其中 与 V 0 均为正实数。
(1)试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本
征值和相应的本征函数； (2)给出粒子处于 x0区域中的几率.它是1/2
n(r), n1,2,
包含时间在内的定态波函数为
n(r,t)eiE nt n(r)
5
含时Schrödinger方程 的一般解为
(r, t) CneiEnt n (r) n1
即 一般解可以写为定态解的叠加。
其中 C n 为任意常数。如果已知初条件
(r,t0) (r) 则常数 Cn 不再是任意的，它由(r) 唯一地确定：
x0 a x0
x a
I
II
III
I
-a
0
a
中，求定态能量E与波函数 ( x) 。
解： 涉及的问题分三个区
I 区 阱外
波函数为0
II 区 III区
-a<x<0 0<x<a
''k 2 0,
k
2E
2
11
其特征方程解为两个共轭复根 r1,2 i
考虑到不涉及平面波，故波函数可写为形式
1(x) A1 cos kx B1 sin kx, a x 0 2 (x) A2 cos kx B2 sin kx, 0 x a
2 (x) Bex , x a
(4)
注意：同一个束缚态波函数的不同部分由不同
区域分别求解并通过边界条件联系起来
由连续条件 1(a) 2(a)与 '1 (a) '2 (a)得
16
Asin ka Bea
(5)
Ak cos ka Bea (6) 以上两式相比得
k c tan ka
(7)
2
2
2 | E | /
两边平方，得
2
|
E
|
/
1
2
2 2
2
V0
显然|E|有解的条件为
2 2
2
V0
或
2 2V0 2
这正是存在束缚态的条件。
而束缚态能级由前式给出为
E
2
8
2
2
2
2
V0
2
束缚态波函数由式
(
x)
Aex , Aex ,
x0 x0
给出
21
1
归一化系数确定为
A
2
2
粒子处于 x 0区的几率为
t
其中
ˆ 2 2 V(r,t) 2
是粒子的哈密顿算符。它由动能算符 Tˆ 2 2与
2
势能算符V(r,t)组成。如果势能 VV(r)不含t，则
(r,t)eiE t (r)
4
波函数 (r) 满足定态薛定谔方程
22 2V(r)E(r)
或
H ˆ(r)E(r)
上述方程称为能量的本征值方程。其定态解为
En
令 a, ka 代入(7)式，并由 , k 定义
可得
2(V0 E) / 2 , k 2E / 2
2
ctan
2
2V0a
2
2
Q2
其中
Q 2V0a2 / 2
可以给出这两个方程在第一象限中的线形
17
其定态能量由两条 线的交点定出。
可以看出，唯有当
Q
2
时有交点。
故存在束缚态的条件是
Q
(1 )
2 2d d x 2 2V (x) 2(x)E 2 2(x)
(2)
(1)2(2)1 化简后，有
2
''
11
2 '' 2 2(E 2E 1)
1
2
将最后所得波函数代入上式，可得
E2
E1
22
﹟
28
1.11 一质量为 的粒子在一圆周（周长为 L）上
运动。如果还存在 函数势
V (x ) a (x L /2 )a , 0 .
26
2(x)B (x2 b x c)e x2/2
要具有确定的宇称，必有 b0
2(x)B (x2c)ex2/2
如何确定c值？利用正交关系
1*(x)2(x)dx0
得
c 1 2
从而有
故
2(x)B(x221)ex2/2
如何求能级E1，E2之差？ 看S-方程
27
2 2d d x 2 2V (x) 1(x)E 1 1(x)
A,B,b,c均为实常数。试确定参数 b, c 的取 值，并求这两个态的能量之差 E2 E1 。
提示：
（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的 形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。
（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。
（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。
25
解：1(x) 与2(x) 分别满足定态方程
23
解：原谐振子势体系的波函数为 1 2x2 n (x) Ane 2 Hn (x), n 0,1,2, 此波函数及其导数在原点处是连续的
在原点加上δ势后，
波函数导数要发生
V(x)
跃变，但偶宇称波
函数显然不满足
(0)(0)2 V 20(0)
0
x
因此在原谐振子波函数中满足此条件的唯有
波函数的奇宇称解，即
(1)在值全, 即空间(r找,t)到是粒平子方的可几积率的；| (rr, t) |2 d 取有限
(2) |(r,t)|是单值的； (3) (r,t)与(r,t)是连续的。
3
2. 波函数 (r,t)满足方程—含时薛定谔方程
i t (r,t) 2 2 2V(r,t) (r,t)
或
i(r,t) ˆ(r,t)
0
(| x | a)
a 1(x) 0 a
x
两解隶属同一能级
En
n2 22 2a2
但一维束缚能级是不简并的，问题在哪里？
无限高方位势，波函数导数不连续！去掉哪一个解？﹟13
V (x)
另外一种处理方法：
利用两个一维无限深势阱， 通过边界条件联系起来
I II III I
比如右图的基态--
1(x)
a 0 a x
15
d
2 (x)
dx2
k
2
(
x)
0,
0 xa
(1)
在 x a 区，令 2(V0 E) / 2 得定态方程
d 2 (x) 2 (x) 0, x a (2)
dx2
方程(1)满足边界条件 (0) 0 解是
V0
1(x) Asin kx, 0 x a (3)
0
a
方程(2)满足边界条件 () 0解是
4. 一维无限深势阱
V(x) 0,,
0xa x0,xa
中的定态能量和波函数为
V (x)
n2 22 E 2 a2 , n 1,2
2 nx
n(r)
sin aa
,
0xa
1(x)
0
x0,xa 0
a
x
7
如果坐标原点取在势阱(宽度2a)的中心，则定态波函
数为
(x)
1cosn x
a 2a
1sinn x
因为
p | A |2 e2xdx
0
, 0, 0
显然
即 所以
2 p 1
2
﹟ 22
1. 6 谐振子势中心附加 函数势， V (x)2x 2/2 V 0(x),
在原定态解中，哪些仍是解，哪些不再是解， 需要重新求？
V(x)
0
x
提示：
（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点 （2）了解δ函数的作用，会使用跃变条件 （3）要求波函数及其导数都要连续
8
6. 在δ函数势场 V(x)A (xa)中，定态波函数
(x) 在xa点连续，但'(x)在xa点不连续：
(a)(a)2 2A(a)
7. 波函数为( x)的一维运动粒子的动量几率分布
函数为
2
几率流W 密(p度) 为(p)2(21 )12 eip x (x)dx
j 2i*(x)ddx(x)(x)ddx*(x)
a 2a 0
n1,3,5, n2,4,6,
| x|a | x|a
V (x)
I II III I
a 1(x) 0 a
x
5. 势能为V(x) 2x2/2的一维谐振子定态能量和波
函数为 Enn1 2, n0,1,2,
n(x )N n e 2x22H n( x ),N n 12 2 nn !
n(x)具有确定的宇称 (1) n 。
量子力学辅导
参考书： 1.曾谨严《量子力学教程》 2.陈鄂生《量子力学习题与解答》
1
教学目的：
1、系统了解量子力学I的基本内容 2、系统掌握量子力学解题的基本思路和方法
3、为进一步学习量子力学II和考研打下坚实 的基础
2
第一部分 Schrödinger方程 一维定态问题
一、学习要点
1.在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不 考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(r,t)表示. |(r,t)|2d表示 t 时刻粒子处于空间 r处 d 体积 元内的几率，即 |(r,t)|2代表几率密度。根据波 函数的物理意义,波函数 (r,t)应具有如下性质：
1 2x2
n (x) Ane 2 Hn (x), n 1,3,5,
注意此题与1.2题的异同，无需求偶宇称解。
﹟ 24
1.10 质量为 的粒子在势场V ( x)中作一维运动，
两个能量本征函数分别为 1 ( x ) A x 2 / 2 ,e 2 ( x ) B ( x 2 b c ) e x x 2 / 2
有定态方程 '' 2 0 其解为 Cex Dex
在x=0区域是δ势阱, (1) 波函数满足边界条件
(0 ) (0 ), () 0
故波函数的解为
(
x)
Aex , Aex ,
x0 x0
(2)波函数导数满足跃变条件
'
(0
)
'
(0
)
2a
2
(0)
20
可以得到
2a
2
或
2(V0
|
E
|)
/
, x 0
V(x) 0, 0 x a
V0,
xa
V0
中，求束缚态的条件 (V0 0) 。
0
a
提示： （1）理解题目问题含义，分区求解
（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件
（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解 超越方程组。
解： 涉及的问题分三个区
在x 0区 (x) 0
在 0 x a 区，令 k 2E / 2 得定态方程
具有确定宇称的波函数是
n (x)
1 sin n x
aa
（1）偶宇称
1 sin n x
aa
n (x)
1 sin n x
aa
0
0 xa a x0
(| x | a)
I II III I
1(x)
a 0 a x
V (x)
（2）奇宇称
I II III I
n
(
x)
1 sin n x
aa
(| x | a)
请求出系统的所有能级和相应的归一化波函数。
但在原点处波函数必为0，从而可令
(x) Asin kx, | x | a
利用边界条件 (a) 0 得 ka n , n 1,2,
从而有
k n
a
2E
2 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
En
n2 22 2a2
a
由归一化条件 * d x 1 可得 a
A 1 a
从而有
n (x)
1 sin n x
aa
12
由于势函数具有空间反射不变性， V (x)
问题：能否利用宽度为2a的一维对称无限深势阱， 选择那些在x=0处，波函数为0的态？
(x)
1cosn x
a 2a
1sinn x
a 2a 0
n1,3,5, n2,4,6,
| x|a | x|a
答案：不行！一旦存在中间无限高势，波函数马上
会变成 (0) 0的偶宇称波函数。
﹟ 14
1. 3 求在半壁无限深方势阱
C n ( n , ) * n (r) (r)d
| C n |2 代表粒子的能量取值为 E n 的几率。
6
3. 一维束缚定态有如下性质： (1)能量是非简并的（某些不规则势阱除外）； (2)波函数是实函数； (3)如果势函数V ( x)满足对称条件 V(x)V(x), 则波函数(x) 有确定的宇称,即为奇(偶)函数
还是1/ 2，为什么？
提示：（1）理解问题含义，分区求解
（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件
' (0
)
' (0
)
2 2
(0)
（3）δ函数的作用
19
解：在 x 0 区域，令 2 | E | / 有定态方程 '' 2 0
V
0
0
x
其解为 Aex Bex
在 x 0 区域，令 2(V0 | E |) /
Im*(x)ddx(x)
当波函数为实函数时，几率流密度为0.
如何理解？ 波函数是驻波！
﹟9
二、例题
▲量子力学中常用的二阶常系数
齐次线性微分方程的解
对方程
'' p 'q 0
其特征方程为
r2 pr q 0
若两个根为 r1，r2，则其解为
(1)两不相等的实根r1,2 c1er1x c2er2x
2 2d d x 2 2V (x) 1(x)E 1 1(x)
(1 )
2 2d d x 2 2V (x) 2(x)E 2 2(x)
(2)
将1(x)Aex2/2代入方程（1），得
V(x)E 1(2x2)2 2
(3)
显然 V ( x)满足空间反射不变性，V(x)V(x)
从而此一维势场中束缚定态波函数具有 确定的宇称。 对第二个波函数
(2) 相等实根 r1 r2 r (c1 c2x)erx
(3)共轭复根 r1,2 i ex (c1 cos x c2 sin x)
c1e(i )x c2e( i )x ex sin( x ) ﹟ 10
1. 2 质量为 的粒子处于一维势场
V
(x)
0
0
xa 0 xa