热统第六章
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PX
当粒子以一定的动量在容器中运动时. →粒子运动状态的代表点轨迹为平行于x的直线 对r=3, 空间的维数是6维,可分解为三个二维子空间
Lx
x
(二)线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下,在原点附近作一维简谐振动.
空间
A m
∵r=1,
p2 A 2 p2 x 2 2m 2 ( 2m )
(二)线性谐振子
由原子物理知,园频率为 的线性谐振子,能量的可能值为
n (n )
1 2 n 0,1, 2... (6.2.4)
∴n可以确定振子的运动状态和能量. 能量是分立的,分立的能量称为能级. n=0称为零点能
1 1 n n n 1 [ (n ) (n 1 )] 2 2
由经典力学知:粒子任一时刻的状态由粒子的r个广义坐标( 与r个广义动量 q1.q2 ...qr 的数值确定.
例如r=3,则粒子的运动状态由x.y.z, px . py . pz 或 r. .. pr . p . p 描写(6个参量) 粒子能量
(q1.q2 ...qr , p1. p2 ... pr )
→不能用经典的方法描写粒子的状态
∴用量子描写 即一组量子数描写.如(n.L.m.S)
二.例子
(一)自旋状态
设一粒子,质量为m,电荷切-e,粒子的自旋磁矩为 ,自旋角动量S之比
e s m
由原子物理知,如加上沿Z方向的位磁场B,则粒子自旋角动量在Z方向 的投影Sz有两个可能值 sz 2 自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为: e e e z sz ( ) m m 2 2m 粒子在外磁场中的势能: e B B (6.2.3) 2m ∴描写粒子自旋状态只要一个量子数Sz,它只能取两个分立值.
(6.2.12)
p2 ∵自由粒子,有 2m及(6.2.12)可得,在V内,能量在 d 范围
内的可能的量子态数目
p2 2m p 2m
p dp p pdp (2m )
2 1 2
2 pdp 2md pdp md
md 2 m 2 d
2 2 2 nx ny nz 不同,能量不同, →存在简并
2 2 2 n n n 1既 时 2 mL
2 x 2 y 2 z
nx 1, ny nz 0
ny 1, nx nz 0
2 nz 1, ny nx 0 都对应nx2 ny nz2 1
pz p cos
动量空间的体积元 d p sin dpd d ∴在体积V内,动量空间体元 d 中可能的状态数为
2
Vp 2 sin dpd d h3
∴在体积V内,动量大小在P→P+dp,动量方向在 d , d 的范围内,
自由粒子可能的状态数
∵粒子在某时刻的状态为 (q1.q2 ...qr ,
p1. p2 ... pr ) 有确定值, →
空间的一个点表示, ∴ 空间中的一个点表示一个粒子的运动状态 →称为代表点 当粒子的运动状态随时间变化, →代表点在 空间移动 →画出一条轨道 几个例子
(一)自由粒子
→不受力作用的粒子
1.当粒子在三维空间中运动时, 空间的维数是6维, 微观粒子能量=动能+势能
一.全同和近独立粒子组成的系统 1. 全同粒子组成的系统 全同子 具有完全相同的属性(相同的质量.电荷.自旋.内禀磁矩等)
2. 近独立粒子组成的系统
近独立粒子 粒子之间的相互作用很弱,相互作用的能量<<单个粒子的能量
→整个系统的能量近似等于单个粒子的能量之和
E
i
n
i
(6.3.1)
二.系统微观运动状态的经典描写 设粒子的自由度为r 第i个粒子的运动状态确定, →r个广义坐标 qi1qi 2 qir 和r个广义动 pi1 pi 2 pir 确定
此时,将任意两个粒子运动状态互换,不改变整个系统的微观运动状态 2.可分辨的全同粒组成的系统的微观运动状态的确定 此时必须确定每个粒子的个体量子态 此时不仅要知道每个量子态上有几个粒子,还要知道是哪几个粒子占据 例子: 某系统由三个粒子组成,共有三个量子态.知道每个量子态上有一个粒子 问:系统的状态是否确定了? 此时∵全同粒子可以分辨 →没有确定系统的状态 要确定系统的状态,必须知道每个态上是哪个粒子占据 ∵可分辨. ∴可对粒子编号 ∴它包含以下状态
∴简并度为6
又由于pxn (
2 2 2 nx ) [ ( nx )] L L L 2 2 2 12 12 0 12 0 0 2 2 n [ ] 2 2 m L L m
2
1 L2
}
当L很小时,动量.能量 的分立性明显
(c)粒子处于宏观大小的容器中,动量在一定范围内的量子态数目
∴任意两相邻能级是等间距的
(三)自由粒子 1.一维自由粒子
设粒子处在长度为L的一维容器中,根据原 子物理,必须满足周期性边界条件或驻波 条件.
(a)周期性边界条件
→容器的长度L为德布罗意波的整数倍
k 2
L nx
2 2 nx L L nx
nx 0,1,2...
代入上式
即
kx
∵系统由N个粒子组成 ∴系统中N个粒子的状态确定了,则系统的状态确定了
→要 qi1qi 2
qir , pi1 pi 2
pir (i 1, 2,...N ) 同时确定,即2rN个变量同时确定
由于在经典物理中全同粒子可以分辨(轨道运动)
∴将两个粒子的运动状态互换,导致系统的运动状态不同
例子:班级同学坐位排序 三.系统微观运动状态的量子描述 1.全同性原理 量子力学中,全同性粒子是不可分辨的 理解: 由于波粒二象性,粒子不再是轨道运动(不能跟踪)
3.不可分辨的全同粒子组成的系统的微观运动状态的确定 ∵不可分辨, ∴粒子不可编号 此时系统的运动状态的确定只需要确定每个量子态上有几个粒子占据. 例子: 某系统由三个粒子组成,共有三个量子态.知道每个量子态上有一个粒子 问:系统的状态是否确定了? 确定了系统的状态 4.玻色子和费米子 (a)玻色子 (b)费米子 自旋量子数为半整数的粒子.如电子.质子.中子等. 自旋量子数整数的粒子.如光子. 介子
→首先要清楚如何描写系统微观运动状态
第一节
粒子运动状态的经典理论
自由电子.辐射场的光子等
“粒子” 宏观物质系统的基本单元. 气体的分子.金属的离子或
“粒子”的运动状态
→指粒子的力学运动状态
{ 量子描述中:粒子的波函授或量子数
q1.q2 ...qr
)
经典描述中:粒子的位置与动量
设粒子的自由度为r
(
x2 1 2 2 ) m 2
(6.1.4)
代表点的轨迹为椭圆 能量
可取任意值, 不同,椭圆大小不同.
p
2m
q
2 m 2
§6.2粒子运动状态的量子描述 一.波粒二象性 由原子力学或光学知,微观粒子具有波粒二象性. 1.德布罗意波假设
能量为 ,动量为p的自由粒子联系着园频率为 ,波矢量为k 的平面波
L p. 连续变化 往往考虑在体积V内,动量在 p x ~ p x dp x 的
p y ~ p y dp y p z ~ p z dp z 量子态数目 L L L dn dp , dn dp dn dpz x x y y z 由(6.2.7)式可知 2 2 2 ∴在V内,动量在 px ~ px dpx , py ~ py dpy , pz ~ pz dpz 内,自由粒子的量子态 数目: L L L L 3 V dnx dn y dnz dpx dp y dpz ( ) dpx dp y dpz 3 dpx dp y dpz (6.2.9) 2 2 2 2 h
∵波矢为矢量,在一维空间中波可以沿两 个方向传播
∴波矢 k X 的可能值为
kx
(b)动量的可能值 将上式代入(6.2.1),可得动量的可能值
px k 2 nx L nx 0, 1, 2... (6.2.5)
2 nx L
nx 0, 1, 2...
nx 就是表征一维自由粒子状态的量子数
(c)能量的可能值
2 px 1 4 2 2m 2m L2 2
2 2 n m
2 x
2
2 nx L2
nx 0, 1, 2...
(6.2.6)
nx不同,一维自由粒子的动量.能量不同
2.三维自由粒子
设粒子处在长度为L的立方容器中,由前知,粒子的三个动量分量为:
(a)动量的可能值
2 nx L 2 Py ny L 2 Pz nz L Px
理解:
如果用x.p描写粒子的运动状态,则一个状态必对应 空间的一 个体元. →称为相格
由不确定关系q p h
对一个自由度的粒子,相格的大小为h
(6.2.10)
r 如粒子的自由度为r,相格的大小为 q1q2 qr p1p2 pr h
∴式(6.2.9)(r=3) 可理解为 将 空间的相体积 Vdpx dpy dpz除以相格的大小 →相体积 Vdpx dpy dpz 有多少可能的状态 2.动量空间在球极坐标下的量子态数目 px p sin cos 用 P. . 来描写粒子的动量 p y p sin sin
2 2 2 p p pz 1 m 1 y 2 2 2 2 2 2 x m(vx v y vz ) ( 2 2 2 ) ( px py pz ) 2 2 m m m 2m
(6.1.3)
2.当粒子在一维空间中运动时, 空间的维数是2维. px → x. px 为直角坐标构成 设一维容器的长度为L, 则 0 X L
2 3 1
4 Vp 2 dp 4 V D( )d h3 h3
2m
2
3
1
2
3 1 2 V 2 d (2m) 2 d 3 h
(6.2.13)
其中 D ( )为单位能量间隔内的可能状态数→态密度 注意上述计算没有考虑自旋.
第三节 系统微观运动状态的描写
系统的微观运动状态必须同时确定系统中所以粒子的力学运动状态 本章讨论全同和近独立粒子组成的系统
p k 该式将波粒二象性有机结合起来 2.测不准关系
粒子性
←
{
}→
波动性
(6.2.1)
波粒二象性导致的重要结果是微观粒子不能同时具有确定的动量和确定的坐标
以q---粒子坐标的不确定性，p---粒子动量的不确定性
由量子力学知
→测不准关系 →
q p
h
(6.2.2)
q 0, 则P ；或P 0，则q
nx 0, 1, 2 n y 0, 1, 2 nz 0, 1, 2 (6.2.7)
nx
ny
nz
表征三维自由粒子状态的量子数
1 2 2 2 2 2 ( px p y pz ) 2m m
2
(b)能量的可能值
(
2 2 2 nx ny nz
L
2
)
(6.2.8)
第六章 近独立粒子的最概然Biblioteka Baidu布
统计力学 ——运用力学定律和统计学原理，以物质的微观结构和微观运 动为基础，研究体系的热力学性质的一门科学。 统计物理的观点 物质的宏观性质是大量微观粒子的集体表现,实际观察到的 宏观热力学量是相应微观力学量的统计平均.
g gd
问题 概率 要求微观力学量的统计平均,必须知道微观状态出现的
Vp 2 sin dpd d h3
(6.2.11)
2
如果再对动量的方向积分,即动量可以取任意值
d sin d 4
0 0
∴在体积V内,动量大小在P→P+dp范围内(动量方向可取任意值),自由粒子可
能的状态数
2
Vp
2
sin dpd d
0 0
h3
4 V 2 p dp h3
(qi . pi ) 的函授
空间
→为形象描写粒子的运动状态而引入
以r个广义坐标和r个广义动量(2r维)作为直角坐标所构造的 空间. 例如r=3,
空间的维数为6维,
ei ei 1
不可能在图中画出
0 0 qi0 q 0 0, q p j i j 0(i j )或ei e j 0(i j )i, j 1, 2...6,
当粒子以一定的动量在容器中运动时. →粒子运动状态的代表点轨迹为平行于x的直线 对r=3, 空间的维数是6维,可分解为三个二维子空间
Lx
x
(二)线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下,在原点附近作一维简谐振动.
空间
A m
∵r=1,
p2 A 2 p2 x 2 2m 2 ( 2m )
(二)线性谐振子
由原子物理知,园频率为 的线性谐振子,能量的可能值为
n (n )
1 2 n 0,1, 2... (6.2.4)
∴n可以确定振子的运动状态和能量. 能量是分立的,分立的能量称为能级. n=0称为零点能
1 1 n n n 1 [ (n ) (n 1 )] 2 2
由经典力学知:粒子任一时刻的状态由粒子的r个广义坐标( 与r个广义动量 q1.q2 ...qr 的数值确定.
例如r=3,则粒子的运动状态由x.y.z, px . py . pz 或 r. .. pr . p . p 描写(6个参量) 粒子能量
(q1.q2 ...qr , p1. p2 ... pr )
→不能用经典的方法描写粒子的状态
∴用量子描写 即一组量子数描写.如(n.L.m.S)
二.例子
(一)自旋状态
设一粒子,质量为m,电荷切-e,粒子的自旋磁矩为 ,自旋角动量S之比
e s m
由原子物理知,如加上沿Z方向的位磁场B,则粒子自旋角动量在Z方向 的投影Sz有两个可能值 sz 2 自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为: e e e z sz ( ) m m 2 2m 粒子在外磁场中的势能: e B B (6.2.3) 2m ∴描写粒子自旋状态只要一个量子数Sz,它只能取两个分立值.
(6.2.12)
p2 ∵自由粒子,有 2m及(6.2.12)可得,在V内,能量在 d 范围
内的可能的量子态数目
p2 2m p 2m
p dp p pdp (2m )
2 1 2
2 pdp 2md pdp md
md 2 m 2 d
2 2 2 nx ny nz 不同,能量不同, →存在简并
2 2 2 n n n 1既 时 2 mL
2 x 2 y 2 z
nx 1, ny nz 0
ny 1, nx nz 0
2 nz 1, ny nx 0 都对应nx2 ny nz2 1
pz p cos
动量空间的体积元 d p sin dpd d ∴在体积V内,动量空间体元 d 中可能的状态数为
2
Vp 2 sin dpd d h3
∴在体积V内,动量大小在P→P+dp,动量方向在 d , d 的范围内,
自由粒子可能的状态数
∵粒子在某时刻的状态为 (q1.q2 ...qr ,
p1. p2 ... pr ) 有确定值, →
空间的一个点表示, ∴ 空间中的一个点表示一个粒子的运动状态 →称为代表点 当粒子的运动状态随时间变化, →代表点在 空间移动 →画出一条轨道 几个例子
(一)自由粒子
→不受力作用的粒子
1.当粒子在三维空间中运动时, 空间的维数是6维, 微观粒子能量=动能+势能
一.全同和近独立粒子组成的系统 1. 全同粒子组成的系统 全同子 具有完全相同的属性(相同的质量.电荷.自旋.内禀磁矩等)
2. 近独立粒子组成的系统
近独立粒子 粒子之间的相互作用很弱,相互作用的能量<<单个粒子的能量
→整个系统的能量近似等于单个粒子的能量之和
E
i
n
i
(6.3.1)
二.系统微观运动状态的经典描写 设粒子的自由度为r 第i个粒子的运动状态确定, →r个广义坐标 qi1qi 2 qir 和r个广义动 pi1 pi 2 pir 确定
此时,将任意两个粒子运动状态互换,不改变整个系统的微观运动状态 2.可分辨的全同粒组成的系统的微观运动状态的确定 此时必须确定每个粒子的个体量子态 此时不仅要知道每个量子态上有几个粒子,还要知道是哪几个粒子占据 例子: 某系统由三个粒子组成,共有三个量子态.知道每个量子态上有一个粒子 问:系统的状态是否确定了? 此时∵全同粒子可以分辨 →没有确定系统的状态 要确定系统的状态,必须知道每个态上是哪个粒子占据 ∵可分辨. ∴可对粒子编号 ∴它包含以下状态
∴简并度为6
又由于pxn (
2 2 2 nx ) [ ( nx )] L L L 2 2 2 12 12 0 12 0 0 2 2 n [ ] 2 2 m L L m
2
1 L2
}
当L很小时,动量.能量 的分立性明显
(c)粒子处于宏观大小的容器中,动量在一定范围内的量子态数目
∴任意两相邻能级是等间距的
(三)自由粒子 1.一维自由粒子
设粒子处在长度为L的一维容器中,根据原 子物理,必须满足周期性边界条件或驻波 条件.
(a)周期性边界条件
→容器的长度L为德布罗意波的整数倍
k 2
L nx
2 2 nx L L nx
nx 0,1,2...
代入上式
即
kx
∵系统由N个粒子组成 ∴系统中N个粒子的状态确定了,则系统的状态确定了
→要 qi1qi 2
qir , pi1 pi 2
pir (i 1, 2,...N ) 同时确定,即2rN个变量同时确定
由于在经典物理中全同粒子可以分辨(轨道运动)
∴将两个粒子的运动状态互换,导致系统的运动状态不同
例子:班级同学坐位排序 三.系统微观运动状态的量子描述 1.全同性原理 量子力学中,全同性粒子是不可分辨的 理解: 由于波粒二象性,粒子不再是轨道运动(不能跟踪)
3.不可分辨的全同粒子组成的系统的微观运动状态的确定 ∵不可分辨, ∴粒子不可编号 此时系统的运动状态的确定只需要确定每个量子态上有几个粒子占据. 例子: 某系统由三个粒子组成,共有三个量子态.知道每个量子态上有一个粒子 问:系统的状态是否确定了? 确定了系统的状态 4.玻色子和费米子 (a)玻色子 (b)费米子 自旋量子数为半整数的粒子.如电子.质子.中子等. 自旋量子数整数的粒子.如光子. 介子
→首先要清楚如何描写系统微观运动状态
第一节
粒子运动状态的经典理论
自由电子.辐射场的光子等
“粒子” 宏观物质系统的基本单元. 气体的分子.金属的离子或
“粒子”的运动状态
→指粒子的力学运动状态
{ 量子描述中:粒子的波函授或量子数
q1.q2 ...qr
)
经典描述中:粒子的位置与动量
设粒子的自由度为r
(
x2 1 2 2 ) m 2
(6.1.4)
代表点的轨迹为椭圆 能量
可取任意值, 不同,椭圆大小不同.
p
2m
q
2 m 2
§6.2粒子运动状态的量子描述 一.波粒二象性 由原子力学或光学知,微观粒子具有波粒二象性. 1.德布罗意波假设
能量为 ,动量为p的自由粒子联系着园频率为 ,波矢量为k 的平面波
L p. 连续变化 往往考虑在体积V内,动量在 p x ~ p x dp x 的
p y ~ p y dp y p z ~ p z dp z 量子态数目 L L L dn dp , dn dp dn dpz x x y y z 由(6.2.7)式可知 2 2 2 ∴在V内,动量在 px ~ px dpx , py ~ py dpy , pz ~ pz dpz 内,自由粒子的量子态 数目: L L L L 3 V dnx dn y dnz dpx dp y dpz ( ) dpx dp y dpz 3 dpx dp y dpz (6.2.9) 2 2 2 2 h
∵波矢为矢量,在一维空间中波可以沿两 个方向传播
∴波矢 k X 的可能值为
kx
(b)动量的可能值 将上式代入(6.2.1),可得动量的可能值
px k 2 nx L nx 0, 1, 2... (6.2.5)
2 nx L
nx 0, 1, 2...
nx 就是表征一维自由粒子状态的量子数
(c)能量的可能值
2 px 1 4 2 2m 2m L2 2
2 2 n m
2 x
2
2 nx L2
nx 0, 1, 2...
(6.2.6)
nx不同,一维自由粒子的动量.能量不同
2.三维自由粒子
设粒子处在长度为L的立方容器中,由前知,粒子的三个动量分量为:
(a)动量的可能值
2 nx L 2 Py ny L 2 Pz nz L Px
理解:
如果用x.p描写粒子的运动状态,则一个状态必对应 空间的一 个体元. →称为相格
由不确定关系q p h
对一个自由度的粒子,相格的大小为h
(6.2.10)
r 如粒子的自由度为r,相格的大小为 q1q2 qr p1p2 pr h
∴式(6.2.9)(r=3) 可理解为 将 空间的相体积 Vdpx dpy dpz除以相格的大小 →相体积 Vdpx dpy dpz 有多少可能的状态 2.动量空间在球极坐标下的量子态数目 px p sin cos 用 P. . 来描写粒子的动量 p y p sin sin
2 2 2 p p pz 1 m 1 y 2 2 2 2 2 2 x m(vx v y vz ) ( 2 2 2 ) ( px py pz ) 2 2 m m m 2m
(6.1.3)
2.当粒子在一维空间中运动时, 空间的维数是2维. px → x. px 为直角坐标构成 设一维容器的长度为L, 则 0 X L
2 3 1
4 Vp 2 dp 4 V D( )d h3 h3
2m
2
3
1
2
3 1 2 V 2 d (2m) 2 d 3 h
(6.2.13)
其中 D ( )为单位能量间隔内的可能状态数→态密度 注意上述计算没有考虑自旋.
第三节 系统微观运动状态的描写
系统的微观运动状态必须同时确定系统中所以粒子的力学运动状态 本章讨论全同和近独立粒子组成的系统
p k 该式将波粒二象性有机结合起来 2.测不准关系
粒子性
←
{
}→
波动性
(6.2.1)
波粒二象性导致的重要结果是微观粒子不能同时具有确定的动量和确定的坐标
以q---粒子坐标的不确定性，p---粒子动量的不确定性
由量子力学知
→测不准关系 →
q p
h
(6.2.2)
q 0, 则P ；或P 0，则q
nx 0, 1, 2 n y 0, 1, 2 nz 0, 1, 2 (6.2.7)
nx
ny
nz
表征三维自由粒子状态的量子数
1 2 2 2 2 2 ( px p y pz ) 2m m
2
(b)能量的可能值
(
2 2 2 nx ny nz
L
2
)
(6.2.8)
第六章 近独立粒子的最概然Biblioteka Baidu布
统计力学 ——运用力学定律和统计学原理，以物质的微观结构和微观运 动为基础，研究体系的热力学性质的一门科学。 统计物理的观点 物质的宏观性质是大量微观粒子的集体表现,实际观察到的 宏观热力学量是相应微观力学量的统计平均.
g gd
问题 概率 要求微观力学量的统计平均,必须知道微观状态出现的
Vp 2 sin dpd d h3
(6.2.11)
2
如果再对动量的方向积分,即动量可以取任意值
d sin d 4
0 0
∴在体积V内,动量大小在P→P+dp范围内(动量方向可取任意值),自由粒子可
能的状态数
2
Vp
2
sin dpd d
0 0
h3
4 V 2 p dp h3
(qi . pi ) 的函授
空间
→为形象描写粒子的运动状态而引入
以r个广义坐标和r个广义动量(2r维)作为直角坐标所构造的 空间. 例如r=3,
空间的维数为6维,
ei ei 1
不可能在图中画出
0 0 qi0 q 0 0, q p j i j 0(i j )或ei e j 0(i j )i, j 1, 2...6,