材料力学基本第五章 圆轴扭转

45.0 MPa [ ]
轴满足强度要求。
• 5.4 圆杆扭转时的强度和刚度计算
• 5.4.1 圆轴扭转实验与破坏现象 • 1 观察变形现象：
•
• 2 变形现象：
• （1）纵线在变形后近似为直线，
• 但相对于原位置转了一个 角。 • （2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。 • 3 推论： • （1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面， • 且大小、形状不变，半径为直线。 • （2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。 • （3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。
G称为材料的切变模量,单位为帕(Pa)
'

'

切变模量G、弹性模量E和泊松比三者之间的关系是
G E
2(1 )
5.3 圆轴扭转时的切应力分析
5.3.1 平面假定
圆轴扭转的平面假设
变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为 平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、 大小及间距均不改变。
得
P

M e

Me
2 n
60
Me

9549
P n
(N m)
5.2 纯剪切状态与切应力互等定理
5.2.1薄壁圆筒的扭转时的切应力与纯剪切状态
一、实验观测
Me

Me
在圆筒表面画一系列纵
R
向线和圆周线。

现象
a)
(1) 纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。
(2)圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为 圆形，且在原来的平面内。
(2)校核扭转强度
尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直 径也大，对AC和DB两段轴都需要作强度校核。
AC段 DB段

AC max

16TAC
d13

16 763.9
(40 103)3
60.8MPa [ ]

DB max

16TDB
d
3 2

16 1909.8
(60 103)3
n
T Me
Me I n
作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩 b)
T
x
n
由作用与反作用原理可知，在
部分Ⅱ横截面n-n上也必然有
n
II
Me
大小相等、转向相反的扭矩T c) T
x
n
发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩
1. 已知外力
Me (FT1 FT2 )R
R
FT1
FT2
2. 已知传递的功率P(kW)和转速n(r/min)
在同一半径为ρ的圆周上， 各点处的切应变γρ均相同， 且与ρ成正比。
O1
A

D

d
O2 B B1 C
C1
dx
a)
O1
O2
R
F
d
E A
H
B F1
B1 G
D
C G1
C1
dx
b)
5.3.3．物理方面 根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力 与切应变成正比。 横截面上半径为ρ 处的切应力为
G
(1)横截面的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比。
(2) 纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。
dA

max
dA
O
a)

b)
5.3.4．静力学方面
微力矩 dA
截面上的扭矩
T

A


dA
dA
max

dA
O
为常量，得 a) T G 2dA A
引进记号
Ip
2dA
A
Ip称为横截面对圆心的极惯性矩
T
GIp
圆轴单位长度扭转角的计算公式
5.3.5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
圆轴横截面上任一点处的切应力


T
Ip
切应力达到最大值
引进记号
τmax

TR Ip
Wp

Ip R
Wp称为抗扭截面系数。
说明：
τ
m
ax

T Wp
'
切应力必然成对出现，且大小

相等，方向都指向(或背离)两
dy

O
平面的交线
x
'
纯剪切应力状态
z
dx
单元体侧面上只有切应力，没有正 应力的状态称为纯剪切应力状态。
5.2.3 剪切胡克定理
直角的改变量即为切应变

低碳钢的 - 曲线
在弹性极限范围内

G
s p
上式称为剪切胡克定理。
第五章 圆轴扭转
§5-1 外加力偶矩与所传递功率的关系 §5-2 纯剪切状态与切应力互等定理 §5-3 圆轴扭转时的切应力分析 §5-4 圆轴扭转时的迁都与刚度计算 §5-5 结论与讨论
5.1 外加力偶矩与所传递功率的关系
求横截面n-n上的内力偶矩 Me I n
截面法
a)
II
Me
Mx 0 T Me 0
(1)只适用于弹性范围内的等直圆轴
(2)对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。
例 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 40 mm，d2 = 60 mm。由轮3输入的功率P3 = 60 kW，轮1输出的功率 P1 =24 kW。轴作匀速转动，转速n = 300 r/min。材料 的许用切应力 [ τ ] = 70 MPa。试校核轴的强度。
解 (1)计算外力偶矩， 画扭矩图
P1
a)
A
Hale Waihona Puke BaiduP2
d1
C
D
P3
d2
B
M e1

9549

24 300

763.9
N

m
0.5 m 0.3 m 1.0 m
T /Nm
Me2

9549
36 300
1145.9
N

m b)
763.9
(-)
x
M e3

9549
60 300
1909.8
N

m
1909.8
y
5.2.2 切应力互等定理
dz
'
取一单元体

左、右侧面 切应力τ 力τdydz
dy

O
x
'
力偶矩 (τ dydz)dx z
dx
上、下侧面
切应力τ'
力τ' dydz
力偶矩(τ' dxdz)dy 平衡条件∑Mz = 0得
τdydzdx-τ′dxdzdy=0
τ = τ′
切应力互等定理
y
在单元体相互垂直的截面上， dz
5.4.2 圆轴扭转强度条件
τmax

Tm a x Wp
圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出 1．几何方面
2．物理方面 3．静力学方面
5.3.2．变形协调方程
取长为dx的微段
两截面的相对扭转角为 d
从该微段中切取一楔形体 由几何关系及小变形假设
γρ

tanγρ

FF1 EF


d
dx


表示扭转角φ沿轴线的变化
率，称为单位长度扭转角
推断：(a)变形后，横截面仍保持为平面； (b)横截面上没有正应力，只有切应力， 切应力的方向与半径垂直。
二、切应力的计算 研究薄壁筒的任一横截面
Me
T
d
dA
微面积 dA = δRdθ
dA
b)
微内力τdA对截面形心的力矩为τdA·R
横截面上的扭矩
即 积分得
dA R T
A
2π τR 2d T 0 τ T 2πR2