圆锥曲线之轨迹问题例题习题

专题：圆锥曲线之轨迹问题

一、临阵磨枪

1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀

1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥

2.已知圆O 的方程为22

2

=+y x ，圆O '的方程为01082

2

=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =

3.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1

MF 的中点P 的轨迹方程为

析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：

0000

22

22

x c x x x c y y y y -⎧

=⎪=+⎧⎪⇒⎨

⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上

∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为

22

22(2)41x c y a b

++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+

=-,0),2

1

(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

析：设点D 为BC 的中点，显然有OP OA AP -=u u u r u u u r u u u r

12AB BC AB BD AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

[),0,AP AD λλ=∈+∞u u u r u u u r

故点P 的轨迹是射线AD ， 所以，轨

迹一定过三角形的重心。

三、大显身手

1、直接法

例1、设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，若,2PA BP =且1=⋅AB OQ ,则P 点的轨迹方程为

解：设(,0),(0,)A a B b 又(,)P x y 所以(,),(,)BP x y b PA a x y =-=--u u u r u u u r

又,2PA BP = 所以32()223x a x a x

y b y b y

⎧

=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩

33

(,0),(0,3)(,3)22

A x

B y AB x y ∴∴=-u u u r

而Q 点与P 点关于y 轴对称，∴点Q 的坐标为(,)x y - 即(,)OQ x y =-u u u r

又1=⋅AB OQ 所以

2

23312

x y += 这个方程即为所求轨迹方程。 变式1、已知两点M （-2,0），N （2,0），点P 满足0=⋅+⋅NP MN MP MN ,动点P 的轨迹方程为

解:设(,)P x y 则：2

2

4,(2),(4,0),(2,).MN MP x y MN NP x y ==++==-u u u u r u u u r

又0=⋅+⋅NP MN MP MN

224(2)4(2)0x y x ∴+++-= 化简得所求轨迹方程为：28y x =-

2、定义法

例2、已知圆

A 的方程为

100)3(2

2

=+-y x ，点B （-3,0），M 为圆O

上任意一点，BM 的中垂线交AM 于点P ，求点P 的轨迹方程。

解：由题意知：BP MP =

AM PA MP PA PB =+=+∴

又圆

A

的半径为

10，所以

10=AM 10=+∴PB PA

即点P 的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，

10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为

)5(116

252

2±≠=+x y x 变式2、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的焦点为

21,F F ，P 是椭圆上的任意一点，如果M 是线段P F 1的

中点，则动点M 的轨迹方程是

解：因为M 是线段P F 1的中点，连接OM ，则

221PF OM =

112

1

PF MF = 由

椭

圆

的

定

义

知

：

a PF PF 221=+a PF PF MO MF =+=

+)(2

1

211 即点M 到定点O 、定点1F 的距离和为定值a ，故动点M 的轨迹是以O 、1F 为焦点，

以a 为长轴的椭圆，其方程为14)2(4222

2

=++b

y a c x （说明：此题也可以用代入法解决）

3、坐标转移法（代入法）

例3、从双曲线12

2

=-y x 上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

O

P

x

y

A

B

M

x

y

P

F1

F2

M