轨迹方程求解常用方法

圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法

一．定义法

如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

（2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。

例1一动圆与圆O ：12

2=+y x 外切，而与圆C ：0862

2

=+-+x y x 内切，那么动圆的

圆心M 的轨迹是：

A ：抛物线

B ：圆

C ：椭圆

D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有⎩

⎨

⎧-=+=1||1

||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。

例 2 已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

,sin 4

5

sin sin C A B =

+求点C 的轨迹。 【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045

==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭

圆的定义。令椭圆方程为

12

'22

'2=+

b

y a

x ，则34,5'''=⇒==b c a ，则轨迹方程为

19

252

2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。

【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。

2.已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.

解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，

即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，

1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13

42

2-≠<=+x x y x

.

二．直接法

如果动点P 的运动规律满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。（有时要借助相关图形的几何性质）

例3 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r

·，则点P 的轨迹是（ ） Ａ．圆

Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线

解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，

，(3)PB x y =--u u u r

，， 由2PA

PB x =u u u r u u u r

·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选Ｄ．

例4 线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？

解 设M 点的坐标为),(y x ，在直角三角形AOB 中，

OM=

,22

1

21a a AB =⨯= 22222,a y x a y x =+=+∴

M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.

例5（几何性质）过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ），

∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形，||2

1

||AB MP ，=由直角三角形的性质 222

2

)2()2(·2

1

)4()2(y x y x +=

-+-∴ 化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。

练习：1.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|

||

|=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？

【解答】∵|P A |=222

2

)3(||,)3(y x PB y x +-=

++

代入

2|||

|=PB PA 得22222

2224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++

化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

2. （几何性质）已知经过点P （4，0）的直线1l ，经过Q （-1，2）的直线为2l ，若21l l ⊥，求1l 与2l 交点S 的轨迹方程。

解：设动点S 的坐标为（x,y ），设1l 、2l 的斜率为1k 、2k ，

∵)1(12

),4(421-≠+-=≠-=

x x y k x x y k 由21l l ⊥有121-=k k ， ∴)1,4(,11

2

4-≠≠-=+-•-x x x y x y 得：042322=-+-+y x y x ……①

当4=x 或1-=x 时①式有解。 ∴S 的轨迹方程为：04232

2

=-+-+y x y x 三 .相关点法

如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 例6 点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=1上运动，则点M （2x 0，y 0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在X 轴上的双曲线

解:令M 的坐标为),,(y x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==y y x x y y x x 0

0022代入圆的方程中得1422=+y x ,选A 例7 设P 为双曲线-4

2x y 2

＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。

解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）

∴2

,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442

x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1

例8 如图，从双曲线1:2

2

=-y x C 上一点Q 引直线

2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.

解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --.ΘN 在直线l 上，

.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得

,11

1

=--x x y y 即011=-+-x y y x .②

y Q O

x

N P