解析几何知识点总结

解析几何知识点总结

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：（0,180）

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α

（1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A （x1,y1）和B （x2,y2）两点的直线的斜率为K ，

则当X1≠X2时，k=tan α=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在； 二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；

2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：y=kx+b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方

程：1

21

121x x x x y y y y --=--；

注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （a ≠0，b ≠0）则直线方程：

1=+b

y

a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B 不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 三、两条直线的位置关系

位置关系

2

22111::b x k y l b x k y l +=+= 0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

平行 ⇔ 21k k =，且21b b ≠ 2

1

2121C C B B A A ≠

=(A 1B 2-A 2B 1=0) 重合 ⇔ 21k k =，且21b b =

2

1

2121C C B B A A =

= 相交 ⇔ 21k k ≠

2

1

21B B A A ≠

垂直

⇔

121-=⋅k k

02121=+B B A A

设两直线的方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或

1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222

111C

y B x A C y B x A 解；

五、点到直线的距离公式：

1.点P(X0，Y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为：2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

；

2.两平行线L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0的距离为：2

2

21||B

A C C d +-=；

六、直线系：

（1）设直线L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，经过L1,L2的交点的直线方程为

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除去L2）；

如：①Y=kx+1→y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与x=0的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。

②直线L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点 。 （2）和L:Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0

（3）与L:Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0；

七、对称问题： （1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A （a.b ）关于C （c,d ）的对称点（2c-a,2d-b ） ②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

Ⅰ、若a.b 相交，则a 到L 的角等于b 到L 的角；若a ∥L ，则b ∥L ，且a.b 与L 的

距离相等。 Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a

的方程。

如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。 第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：2

2

2

r y x =+. 2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上 d=r ；(2)点在圆外 d ＞r ；(3)点在圆内 d ＜r ．

2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ 2.3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫

⎝⎛--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫

⎝⎛--

2,2

E D . 当0422<-+

F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .

圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径