绳子末端速度的分解问题

绳子末端速度的分解问
信阳高中陈庆威
绳子末端速度的分解问题，是"运动的合成和分解”中的一个难点也是易错点。

同学们在处理此类问题时，往往因搞不淸哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。

下而通过对几个典型例题的详细分析，希望能帮助同学们消除解题中的困惑。

例1：如图A所示，在河岸上利用定滑轮拉绳绳使小船靠岸，拉绳的速度为V,当绳和水平而成O角时，船的速度是多少？
分析：
方法一:
1、找关联点（A点）
2、判断合速度（水平向左）
3、速度的合成和分解（沿绳子和垂直绳子）
4、验证正误（新位置在两坐标轴方向上）
船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度V可分解为船沿绳方向的速度Vl和垂直于绳的速度V”如图1所示。

由图可知：V=Vi/cos O
方法二：微元法：
1、关联点在很短时间内经过一小位移S
2、绳子缩短了S' =OA-OB=PA=SCOS 0
3、速度比即是位移比。

例2.如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是
A.加速上升，且加速度不断增大
B.加速上升，且加速度不断减小
C.减速上升，且加速度不断减小
D.匀速上升
分析物体A的速率即为左段绳子上移的速率,而左段绳子上移的速率和右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。

右段绳子实际上同时参和两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。

将右段绳子和汽车相连的端点的运动速度V沿绳子方向和和绳子垂直方向分解，如图3 所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率V x=VFVSin 0 o随着汽车的运动，0增大，V A=V I 增大，故A应
加速上升。

由V7图线的意义知,其斜率为加速度,在0°〜90°范围内，随0角的增大，曲线y=sin 0的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。

答案B
点评本题主要考查了运动的分解,解题的关键是要分淸合速度和分速度。

一般情况下, 物体相对于给左的参考系（一般为地而）的实际运动就是合运动，本例中，汽车的实际运动就是合运动。

另外，运动的分解要按照它的实际效果进行。

例3.如图所示，以速度V沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过立滑轮拉物体B,当绳和水平面夹角为0时，物体B的速度为（）
解：将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，
根据平行四边形泄则得，V1FvsinO.故B正确，A、C、D错误. 故选B.
例4.如图所示，质量m≡=3. 5kg的物体B通过一轻弹簧固连在地而上，弹簧的劲度系数k=100N∕m. 一轻绳一端和物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小左滑轮0‘、O:后，另一端和套在光滑直杆顶端的、质⅛I nA=I.6k g的小球A连接.已
知直杆固泄，杆长L 为0.8m,且和水平而的夹角O 二37° .初始时使小球A 静止 不动，和A
端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F 为45N.已知AO 1=O. 5m, 重力加速度g 取
10m∕s ∖绳子不可伸长.现将小球A 从静止释放，则：
（1） 在释放小球A 之前弹簧的形变量；
（2） 若直线Col 和杆垂直，求物体A 运动到C 点的过程中绳子拉力对物体A 所做 的功；
解：（1）释放小球前，B 处于静止状态，由于绳子拉力大于重力，故弹簧被 拉伸，设弹
簧形变量为X 有：
kx=F-m≡g
所以♦ x=0. IIn
（2）对A 球从顶点运动到C 的过程使用动能立理得：
n
W+πiAgh=斥皿八卩~ - O Φ
2 JA
其中，h=x co .cos37e
而KCQ 广兀40广in37°
物体B 下隆的高度h 二工且。

厂二Cl. 2J Π<∑）
由此可知，弹簧此时被压缩了 0. Im,此时弹簧弹性势能和初状态相等，对于 A. B 、和弹
簧组成的系统机械能守恒：
TTIAgh+∏iBgh =-JHAV^ 十
2 A 1
由题意知，小球A 运动方向和绳垂直，此瞬间B 物体速度V Z FO ④
由①②③④得，W=7J
（3）由题意知，杆长L=0. 8m,故ZCDOLo 二37°
故DO l =AO I ,当A 到达D 时，弹簧弹性势能和初状态相等，物体B 又回到原位置, 在D 点对A 的
速度沿平行于绳和垂直于绳两方向进行分解，
可得，平行于绳方向的速度即为B 的速度，由几何关系得；cos37 0
0 D -Λ
对于整个下確过程由机械能守恒得:BAgLSin37o
TIAv 7+τjlL
BV l L A L D
=0. 3m
由⑤⑥得：V =2in/S
A
例5•如图所示，一根长为1的细刚性轻杆的两端分别连接小球&和b,它们的质戢分别为ma和m6.杆可绕距a球为1/4L处的水平立轴O在竖直平而内转动.初始时杆处于竖直位置.小球b几乎接触桌而.在杆的右边水平桌而上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且和细杆共而的截而.现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当3转过U角时小球b速度的大小.设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b和立方体物块始终接触没有分离・不计一切摩擦・
解：如图所示，肌表示a球转α角b球瞬时速度的大小，V表示此时立方体
速度的大小,
则有Vt J COS α =V
由b球和正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0.因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量.现用肌表示此a球速度的大小，
I3/
因a、b角谨度相同，S = ; ob = -＞所以得
= y （；
根据功能原連可知
将＜1）（2）式代入（3）可得
解得：v⅛
答；当8转过找角时，小球b速度的大小为；比:
例6・一个半径R=O- 6m的光滑丫圆细环竖直放置并固加在水T：桌而上，0为圆心，A为半圆环上左边最低点，C为半圆环最髙点，环上套有一个质量为m=lkg的小球甲，甲可以沿着细环轨道在竖直平面内做圆周运动。

在水平桌而上方固B. D两个过滑轮，立滑轮的大小不计，和半圆环在同一竖直平而内，它们距离桌而的高度均为h二0.8m,泄滑轮B恰好在O点的正上方。

现通过两个泄滑轮用一根不可以伸长的细线将甲和一个质量为M=2kg的物体乙连接在一起，一开始用手托住乙，使小球甲处于A点，细线伸直，当乙由静止释放后。

（1）甲运动到C点时的速度大小是多少？
（2）甲.乙速度大小相等时，它们的速度大小是多少？
解：(1 )根扌居几何关系得：LAB=力2十R 2= 0 6?加二1加
甲运动到C 点时，甲的速度方向水平向右，所以乙的速度为零，对系统运用动能定理得: _ 1 2
W 乙&3 AS
-L
B C)-加甲gR.-尹甲岳
解得：M 甲=
、
(2)当连接甲球的细线与團环相切时，甲、乙速度相等，I 比时甲球到达扩点，离开桌面的距离为d 根協几何关系得：ZB 4’= J 力2_虑2 =、Q §2_Q ^2??j — 0.53«!
餡得:a^=—=l
.m = 0.4Smd = -='UIW = OA5m h 0.8 h 0.8
(3)由机械能守恒可得 Wi 乙S^AB-L BA 9-W 甲尹呻一加乙)韦
2[加乙g (S-％一”呷列=2["10(1—0・53)—1
沢10><0・45]沪「=[ SlW r
初甲一血乙 巩固练习:
1、如图，两左滑轮间距离为2d,质量相等的小球A 和B 通过细长的绳子带动小球C 上 升，在某一时刻连接C 球的两绳夹角为2(1 ,绳子张力为T, A 、B 下落的速度为V,不计滑 轮摩擦和绳子和质量，绳子也不能升长。

此时C 球上升的速度是多少？若C 球质量和A 、B 球相同均为m, α =30°时，三球从静止开始运动，则O =45°时，C 球的速度是多少？
= ,v c = √0.44gd
答： Cosa
2、如图所示，一个长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地而滑动，当AB 杆和墙的夹角 为()时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为V’，B 端沿地面的速度大小为V ：。

则X 、W 的关系 是：(C)
A 、Vl=VC
B 、Vi=Vzcos θ
C 、Vi=Vztg θ
D 、vι=v:Sin θ
3、如右图所示，水平而上有一物体，人通过定滑轮用绳子拉它，在图示位豊，若人的 速度为5m∕s,则物体的瞬时为多大？ 亍
解得；y 甲 1÷2
30GO o
4.如图所示，光屏和平面镜H的初始位置平行，相距为d,点光源S发出的光线垂直入射到平而镜上，当平而镜绕垂直于过英中心0的轴以角速度ω逆时针匀速转过30°时，入射光线SO的反射光线在光屏上形成的光斑P的瞬时速度是多少？
（答：8 ω d）。