经典截长补短法巧解
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截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法：
（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……
补短法
（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……
例：
B A
在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）
B A
方法二（好证不好想）
M
B A
例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）
F
E
（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。
求证：EF=DE+BF
（1）变形a
正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
（1）变形b
正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
（1）变形c
D
正三角形ABC中，E在AB上，F在AC 上∠EDF=45o。DB=DC，∠BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？
（1）变形
d
F
E
正方形ABCD中，点E在CD上，点F
在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。AD=3
求∆AEF的面积
（1）解：（简单思路）
F
E
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
∠ADG=∠ABF=90o
AD=AB
又DG=BF
所以∆ADG≅∆ABF（SAS）
∠GAD=∠FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB
=∠DAF+∠GAD=∠GAF
所以∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAE=∠FAE=45o
又AG=AF
AE=AE
所以∆EAG≅∆EAF（SAS）
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形a解：（简单思路）
EF= BF-DE
在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
∠ADE=∠ABG=90o
AD=AB
又DE=BG
所以∆ADE≅∆ABG（SAS）
∠EAD=∠GAB
AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB
=∠DAG+∠EAD=∠GAE
所以∠GAF=∠GAE-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAF=∠EAF=45o
又AG=AE
AF=AF
所以∆EAF≅∆GAF（SAS）
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解：（简单思路）
G
EF=DE-BF
在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
∠ADG=∠ABF=90o
AD=AB
又DG=BF
所以∆ADG≅∆ABF（SAS）
∠GAD=∠FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB
=∠BAF+∠GAB=∠GAF
所以∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAE=∠FAE=45o
又AG=AF
AE=AE
所以∆EAG≅∆EAF（SAS）
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c解：（简单思路）
G
D
EF=BE+FC
延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由∆ABC是正三角形得
∠ABC=∠ACB=60o
又DB=DC，∠BDC=120o
所以∠DBC=∠DCB=30o
∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o+30o=90o
∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o+30o=90o
所以∠GCD=180o-∠ACD=90o
∠DBE=∠DCG=90o
又DB=DC，BE=CG
所以∆DBE≅∆DCG（SAS）
∠EDB=∠GDC
DE=DG
又∠DBC=120o=∠EDB+∠EDC
=∠GDC+∠EDC=∠EDG
所以∠GDF=∠EDG-∠EDF
=120o-60o=60o
∠GDF=∠EDF=60o
又DG=DE
DF=DF
所以∆GDF≅∆EDF（SAS）
EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形d解：（简单思路）
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EH⊥AG.前面如（1）所证，
∆ADG≅∆ABF，∆EAG≅∆EAF ∠GAD=∠FAB=30o，S∆EAG=S∆EAF
在Rt∆ADG中，∠GAD=30o，AD=3∠AGD=60o，AG=2
设EH=x
在Rt∆EGH中和Rt∆EHA中
∠AGD=60o，∠HAE=45o
HG=
3
3x，AH=x
AG=2=HG+AH=
3
3x+x,EH=x=3-3
S∆EAF=S∆EAG=EH⨯AG÷2=3-3.
（第5页题目答案见第6页）
（2）
O
E
正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。
求证：AC/2=AD-EO
（2）加强版
F
E
M
B
D C
A
正方形ABCD中，M在CD上，N在DA 延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE 平分∠DNM。
请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）