2006高考理科数学试卷及答案全国1

（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分 12 分。
解：（I）

∵x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴，
8

∴sin(2×
+
)=±1，
8

∴
+

=kπ+
，k∈Z.
4
2
∵-π< <0,
∴
3
=-
.
4
（II）由（I）知 =- 3 ，因此 4
3
y=sin(2x- ).
1
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1, ).
2
(I)证明：因 AP =(0,0,1), DC =(0,1,0),故 AP · DC =0,所以 AP⊥DC.
又由题设知 AD⊥DC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC⊥面 PAD。 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD⊥面 PCD.
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
球是表面积公式
P( A B) P( A) P(B)
S 4R 2
如果事件 A、B 相互独立，那么
（II）解：因 AC =(1,1,0), PB =(0,2,-1),
故| AC |= 2 ，| PB |= 5 ， AC · PB =2，所以 cos< AC · PB >= AC PB = 10 .
| AC | | PB | 5
由此得 AC 与 PB 所成的角为 arccos 10 . 5
.
∴cos<
AN
,
BN
>=
|
AN AN |

BN | BN
|


2 3
.
2
故所求的二面角为 arccos(- ).
3
(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.
满分 12 分。
解：（I）∵f(x)+2x>0 的解集为（1，3），
∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0.因而
（III）解：在 MC 上取一点 N(x,y,z),则存在λ∈R，使
NC =λ MC ， NC =(1-x,1-y,-z), MC =(1,0,- 1 ),
2
∴x=1-λ,y=1,z= 1 λ. 2
要使 AN⊥MC 只需 AN · MC =0,即
1
4
x- z=0,解得λ= .
2
5
可知当λ= 4 时,N 点坐标为( 1 ,1, 2 ),能使 AN · MC =0.
4
由题意得

3

2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , k∈Z.
2
4
2
3
所以函数 y=sin(2x- )的单调增区间为
4

[kπ+
,kπ+ 5
], k∈Z.
8
8
(III)由 y=sin(2x- 3 )知 4

3
5
7
x
0
π
8
8
8
8
y
2
-
-1
0
1
0
2
-
2
2
故函数 y=f(x)在区间[0，π]上的图像是
（A）(k - , k + ),k Z
2
2
（B）(k , (k+1) ),k Z
(C) (k
3
-
, k

+
),k Z
4
4
（D）(k
-

,
k
3
+
),k
Z
4
4
（6） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c，且 c=2a，则 cosB=
又 CD 面 PCD，∴面 PAD⊥PCD.
（II）解：过点 B 作 BE∥CA，且 BE=CA，则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角.
连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE= 2 ，又 AB=2，
所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90°，
在 Rt△PEB 中 BE= 2 ，PB= 5 ，
（D）f(2x)= lnx+ln2(x>0 )
（3）双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=
1
（A）-
4
（B）-4
(C)4
（4）如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数 m=
1
（D）
4
（A）1
（B）-1
（C） 2

（5）函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为
4
（D）- 2
（A）120
（B）105
（C）90
（D）75
（11）用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许
折断),能够得到期的三角形面积的最大值为
（A）8 5 cm2 （B）6 10 cm2
（C）3 55 cm2
（D）20cm2
（12）设集合 I={1，2，3，4，5}，选择 I 的两个非空子和 B，要使 B 中的最小的数大
cos∠PBE= BE 10 , PB 5
∴AC 与 PB 所成的角为 arccos 10 . 5
(III)解：作 AN⊥CM，垂足为 N，连结 BN. 在 Rt△PAB 中，AM=MB，又 AC=CB， ∴△AMC≌△BMC， ∴BN⊥CM，故∠ANB 为所求二面角的平面角。 ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得 CB⊥PC， 在 Rt△PCB 中，CM=MB，所以 CM=AM.
（A） 1 4
（B） 3 （C） 2 （D） 2
4
4
3
（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是
（A）16
（B）20
（C）24 （D）32
（8）抛物线 y=-x2 上的点到 4x+3y-8=0 直线的距离的最小值是
4
（A）
3
7
（B）
5
8
（C）
5
（D）3
在等腰三角形 AMC 中，AN·MC= CM 2 ( AC )2 AC . 2
3 ∴AN= 2
2
6
.
5
5
2
∵AB=2，
∴cos∠ANB= AN 2 BN 2 AB 2 2 .
2 AN BN
3
2
故所求的二面角为 arccos(- ).
3
方法二：因为 PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以 A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图 建立空间直角坐标系，则各点坐标为
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D
7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。
13．155
14. 70
15.100 16. ①③④
三．解答题
B 在 l1 上，C 在 l2 上，AM=MB=MN
（I）证明 AC NB
l2
（II）若 ACB 60 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值
C
l1
A
M
N
B
得分 评卷人 （20）（本大题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xoy 中,有一个以 F1(0,- 3 )和 F2(0, 3 )为焦点、离心 率为 3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在 P 处的切线与 x 轴、
2006 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（全国卷Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
（13）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等
于 （14）设 z=2y-x,式中 x、y 满足下列条件
2x y 1 3x 2 y 23 y 1
则 z 的最大值为__________ (15)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排 5 月 1 日和 5 月 2 日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)
P( A B) P( A) P(B)
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
V 4 R3 3
其中 R 表示球的半径
Pn
(k)

C
k n
P
k
(1

P)nk
一．选择题 （1）设集合 M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则
（9）设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量 b1、b2、b3 满足|bi|=2|ai|，且 ai
顺时针旋转 30 后与同向，其中 i=1、2、3，则
（A）-b1+b2+b3=0 （B）b1-b2+b3=0
（C）b1+b2-b3=0
（D）b1+b2+b3=0
（10）设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则 a11+a12+a13=
于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有
（A）50 种
（B）49 种
（C）48 种 （D）47 种
第Ⅱ卷
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3．本卷共 10 小题，共 90 分。
题号
二
总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人 二．本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。
2
1
组.设每只小白鼠服用 A 有郊的概率为 ，服用 B 有郊的概率为 .
3
2
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;
（Ⅱ）观察 3 个试验组,用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 的分布列和数学期望..
得分 评卷人 （19）（本大题满分 12 分）
如图,l1、l2 是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点 A、
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.
5
55
此时, AN =( 1 ,1, 2 ), BN =( 1 ,-1, 2 ),有 BN · MC =0.
55
55
由 AN · MC =0, BN · MC =0 得 AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB 为所求二面角的平面角.
∵| AN |=
30 ,| BN |= 5
30 5
,
AN
·
BN
=-
4 5
（16）设函数 f（x）=cos（ 3 x+ ）(0< < ).若 f(x)+f ' (x)为奇函数,则 =_______
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
得分 评卷人 （17）（本大题满分 12 分）
ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时,cosA+cos B C 取得 2
得分 评卷人 （22）（本大题满分 14 分）
设数 an- 1 2n+1+ 2 ,n=1,2,3,…..
33
3
(I)求首项 a1 与通项 an;
(II)设 Tn=
2n Sn
n
, n=1,2,3,…..,证明: i1Ti

3 2
2005 全国卷 I（河北、河南、安徽、山西） 文科数学参考答案
（A）M N
（B）M N M
（C） M N M
（D） M N R
（2）已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称，则
（A）f(2x)=e2x(x R)
（B）f(2x)=ln2lnx(x>0 )
（C）f(2x)=2e2x(x R)
2 y 轴的交点分别为 A、B，且向量 OM OA OB .求
(I)点 M 的轨迹方程
(II)| OM |的最小值.
得分 评卷人 （21）（本大题满分 12 分）
已知函数 f（x）= 1 x eax 1 x
(I) 设 a>0,讨论 y=f(x)的单调性;
(II) 若对任意的 x(0,1),恒有 f(x)>1,求 a 的取值范围.
最大值,并求出这个最大值
得分 评卷人 （18）（本大题满分 12 分）
A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个
试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察
疗效.若在一组试验中，服用 A 有郊的小白鼠只数比服用 B 有郊的多，就称该组试验为甲类
（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想 象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分 12 分。 方法一： （I）证明：∵PA⊥面 ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD. 因而，CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD，PD 都垂直， ∴CD⊥面 PAD.