理论力学第十四章
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A
B
x
Fg
PB x
设力Fg的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
F g(bcos)0 l(xcos)dF g
FAy
即
l P2 sin x 2 dx
b 0 gl
2l
P l2 sin
3
FAx A
Fg
2g
假想地加上惯性力, 由质点系的达兰贝尔原理 P B x
M A (F ) 0 : F g b c o s P 2 lsin 0
的加速度的大小为
A
an(xsin)2
an
dFg
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFg ,它的大小为
dFgdmanPgl2sinxdx
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
Fg0 lP g l2sinxdx理2 论P g 力l学 第2十s四in 章
FAy FAx
与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
理论力学第十四章
§14-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F'Fm a
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
来自百度文库
FI ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
理论力学第十四章
注意到 F i(i)0, m O(F i(i))0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
表明：对整个质点系来说，
F(e) i
FIi 0
动静法给出的平衡方程，只是
mO(Fi(e))
质点系的惯性力系与其外力的
mO(理F论Ii力)学第0十四章 平衡，而与内力无关。 10
用动静法求解动力学问题时，
0 2
mR2
2
半圆弧
y C
2R
理论力学第十四章
R O
y
Fgi
C d
O
FT
x
FT
§14-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 R I 和一个 惯性力偶 M IO 。
RI FI maMaC 与简化中心无
MIO mO(FI)
4
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， FI
mg
约束反力 N ，合力 RFNm a
FNm a0
FNFI 0
质点的达朗伯原理
理论力学第十四章
5
该方程对动力学问题来说只是形式上的 平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用 动静法解决动力学问题的最大优点，可以利 用静力学提供的解题方法，给动力学问题一 种统一的解题格式。
理论力学第十四章
前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质 点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达 兰贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题 提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点 是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动 力学的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静 法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简 单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广 泛使用。
mz(Fi(e)) mz(FIi)0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方
程求解。
理论力学第十四章
11
[例3] 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并
以匀角速度 绕该轴转动, 如图。求角速度 与角 的y 关系。
C
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx
3
F Ix
ma
x
m
d 2x dt 2
d 2y F Iy ma y m dt 2
F Iz
ma
z
m
d 2z dt 2
F I
ma
m
d 2s dt 2
F In
ma n
m
v2
F Ib ma b 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是
质点对施 力体反作用力的合力。
理论力学第十四章
解得
agtg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
理论力学第十四章
8
[例2] 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转动, 内装钢球和需 要粉碎的物料, 钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线 轨迹自由落下, 从而击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径为r, 试求钢 球的脱离角a。
对平面任意力系： 对于空间任意力系：
X (e) i
FIix 0
Y(e) i
FIiy 0
mO(Fi(e)) mO(FI i) 0
X(e) i
FIix0 ,
mx(Fi(e)) mx(FIi)0
Y(e) i
FIiy0 ,
my(Fi(e)) my(FIi)0
Z(e) i
FIiz0 ,
代入Fg 的数值, 有
Psl in(2l2cos1)0
2 3g
故有＝0 或
a理论r力c学c第o十2s四3l章(g2)
[例4] 已知：m ，R， 。
求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
Fgi
m 2R
Rd
R2
mR 2
2
d
Fy 0 Fgi sin 2FT 0
1
FT 2
m R2 sin d
解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力
如图。钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度 Fg F
为
a 0
an r2
M
r
惯性力Fg的大小为
Fg mr2
假想地加上惯性力, 由达兰贝尔原理
FN mg O
F n 0 :F N m g c o s F g 0
FN
r2
mg( g
cos)
显然当钢球脱离筒壁时,FN＝0
理论力学第十四章
6
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
理论力学第十四章
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象
虚加惯性力
FI m a (FI m)a FI
由动静法, 有
X 0 ,m sg i F n Ico 0 s
由此可求出其脱离角为
理, 论力学第十四章arccosr(g2 )
§14-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
F iNiFIi0(i1,2,n ..)....
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
F i N i FIi0 m O(F i) m O(N i) m O(FIi)0
B
x
Fg
PB x
设力Fg的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
F g(bcos)0 l(xcos)dF g
FAy
即
l P2 sin x 2 dx
b 0 gl
2l
P l2 sin
3
FAx A
Fg
2g
假想地加上惯性力, 由质点系的达兰贝尔原理 P B x
M A (F ) 0 : F g b c o s P 2 lsin 0
的加速度的大小为
A
an(xsin)2
an
dFg
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFg ,它的大小为
dFgdmanPgl2sinxdx
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
Fg0 lP g l2sinxdx理2 论P g 力l学 第2十s四in 章
FAy FAx
与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
理论力学第十四章
§14-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F'Fm a
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
来自百度文库
FI ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
理论力学第十四章
注意到 F i(i)0, m O(F i(i))0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
表明：对整个质点系来说，
F(e) i
FIi 0
动静法给出的平衡方程，只是
mO(Fi(e))
质点系的惯性力系与其外力的
mO(理F论Ii力)学第0十四章 平衡，而与内力无关。 10
用动静法求解动力学问题时，
0 2
mR2
2
半圆弧
y C
2R
理论力学第十四章
R O
y
Fgi
C d
O
FT
x
FT
§14-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 R I 和一个 惯性力偶 M IO 。
RI FI maMaC 与简化中心无
MIO mO(FI)
4
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， FI
mg
约束反力 N ，合力 RFNm a
FNm a0
FNFI 0
质点的达朗伯原理
理论力学第十四章
5
该方程对动力学问题来说只是形式上的 平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用 动静法解决动力学问题的最大优点，可以利 用静力学提供的解题方法，给动力学问题一 种统一的解题格式。
理论力学第十四章
前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质 点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达 兰贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题 提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点 是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动 力学的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静 法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简 单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广 泛使用。
mz(Fi(e)) mz(FIi)0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方
程求解。
理论力学第十四章
11
[例3] 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并
以匀角速度 绕该轴转动, 如图。求角速度 与角 的y 关系。
C
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx
3
F Ix
ma
x
m
d 2x dt 2
d 2y F Iy ma y m dt 2
F Iz
ma
z
m
d 2z dt 2
F I
ma
m
d 2s dt 2
F In
ma n
m
v2
F Ib ma b 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是
质点对施 力体反作用力的合力。
理论力学第十四章
解得
agtg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
理论力学第十四章
8
[例2] 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转动, 内装钢球和需 要粉碎的物料, 钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线 轨迹自由落下, 从而击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径为r, 试求钢 球的脱离角a。
对平面任意力系： 对于空间任意力系：
X (e) i
FIix 0
Y(e) i
FIiy 0
mO(Fi(e)) mO(FI i) 0
X(e) i
FIix0 ,
mx(Fi(e)) mx(FIi)0
Y(e) i
FIiy0 ,
my(Fi(e)) my(FIi)0
Z(e) i
FIiz0 ,
代入Fg 的数值, 有
Psl in(2l2cos1)0
2 3g
故有＝0 或
a理论r力c学c第o十2s四3l章(g2)
[例4] 已知：m ，R， 。
求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
Fgi
m 2R
Rd
R2
mR 2
2
d
Fy 0 Fgi sin 2FT 0
1
FT 2
m R2 sin d
解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力
如图。钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度 Fg F
为
a 0
an r2
M
r
惯性力Fg的大小为
Fg mr2
假想地加上惯性力, 由达兰贝尔原理
FN mg O
F n 0 :F N m g c o s F g 0
FN
r2
mg( g
cos)
显然当钢球脱离筒壁时,FN＝0
理论力学第十四章
6
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
理论力学第十四章
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象
虚加惯性力
FI m a (FI m)a FI
由动静法, 有
X 0 ,m sg i F n Ico 0 s
由此可求出其脱离角为
理, 论力学第十四章arccosr(g2 )
§14-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
F iNiFIi0(i1,2,n ..)....
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
F i N i FIi0 m O(F i) m O(N i) m O(FIi)0