第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
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第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1
1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有 保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为 正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3
3
3
,
2
,
2
2
2
1
1 1
2 2
1 0 1
长安大学《线性代数》课件-第5章二次型 (2)
n
a
i , j 1
ij
xi x j
ann xn2
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ax111 (xa1211x1a
a112xx2 2 aa1n1nxx1 xn )n
12 x
2
x
x
a
x
aa2 n2 nxx2 nx)n
ax21
(
a
x
a
x
2222 2 2
2 221 1 1
可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
如果要把 f = 2y12 + y22 + y32 化为规范形，令
y1 1 / 2 z1
y2 z 2
y z
2
2
可得 f 的规范形：f = z12 + z22 + z32
例 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
2 3
1 3 , 则Q是正交矩阵。
2 3
例
2
2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 ax 2 4 x1 x 2 4 x 2 x 3
经正交变换 x Q y 化为标准形 f y12 by2 2 4 y 3 2
求 a,b;
解 二次型的矩阵为
2 2 0
ann xn2
2an1, n xn 1 xn
称为二次型．
例如： f ( x , y ) x 2 4 xy 5 y 2
2
2
都是二次型。
f ( x , y , z ) 2 x y xz yz
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第四节 对称矩阵的对角化
矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中 是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵 矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以 与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当 是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特
《线性代数》课件-第5章二次型
1
得
:
1
11,
单位化得: P1
1 3
111.
101 ,
1 1 1
1 0 1
对
2 =
0,
由A
1 1
3 1
1 1
r
0 0
1 0
0 0
,
得
:
2
101,
单位化得:
P2
1 2
101.
对
3
=
4, 由A
4E
3 1 1
1 1 1
113
1
r
0 0
0 1 0
012 ,
得
:3
1 2 1
,
单位化得
3. 定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩.
说明: 二次型 f =xTAx 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由 A 变为 B = CTAC.
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
4 2 1
A的特征值为: 1 4, 2 3 5.
对 1= 4,
由A
4E
5 2 4
2 8 2
4 2 5
1 r 0
0
0 1 0
1 1
,
2 0
2
得
: 1
1 ,
2
单位化得:
P1
1
3
2 1
.
2
对 2 = 3= 5,
由A
5E
4 2
2 1
4 2
1
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
问题，等价于该二次型的矩阵 A 合同于一个对角矩阵的问
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
线性代数—二次型(课件)
称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X
高等代数讲义ppt第五章二次型
顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第三节 相似矩阵
= diagP(-1A1 ,P=2 ,B·P·,·-1,APn)= B , 相故似，则 故1 , 2 , ···, n 即是 A 的 n 个特征值.
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
第五章二次型--精品PPT课件
设 f (x1…xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退 化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆 阵. 则 f ( x1…xn ) = Y’C’YCY = g( y1…yn ).
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第五节 二次型及其标准型
解 设 f = xTAx , 则
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
第5章(二次型)线性代数及其应用
2 2 f (x1, x2) = a11x1 +a22x2 +2a12x1x2 2 2 = (a1x1 +a12x1x2) +(a22x2 +a12x1x2)
= x1(a11x1 +a12x2) + x2(a12x1 +a22x2) a11x1 +a12x2 = (x1, x2) a12x1 +a22x2
2 2 f = y12 + 2 y2 + 5 y3 . 通过正交变换化为标准形 (1)求参数 ，并指出二次曲面 f ( x1 , x2 , x3 ) = 10 所属的 求参数a 求参数
曲面类型; 曲面类型 (2)当 x T x = 1 时，求 f 的最大值, 其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T . 当 的最大值
二次型的矩阵表示
a11 = (x1, x2) a12 x1 a11 其 x = ,A= 中 x2 a12
a12 x1 = xT Ax, a22 x2
a12 为 阶 称 阵 , A 二 对 矩 . a22
一般地， 一般地，对n元二次型 元二次型
第5章 二次型
建立了实二次型和实对称矩阵之间的 对应关系； 对应关系；从矩阵变换和函数化简两个角 度给出了二次型标准化的三种方法，进一 度给出了二次型标准化的三种方法， 步得到了二次型的规范形； 步得到了二次型的规范形；并对正定二次 型和正定矩阵的判别进行了讨论． 型和正定矩阵的判别进行了讨论．
第5章 二次型
λ1 λ2 T 求正交矩阵Q， ②求正交矩阵 ，使得 Q AQ = Λ = O λn
为对角阵； 为对角阵； ③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy . 正交变换 化二次型为标准形
= x1(a11x1 +a12x2) + x2(a12x1 +a22x2) a11x1 +a12x2 = (x1, x2) a12x1 +a22x2
2 2 f = y12 + 2 y2 + 5 y3 . 通过正交变换化为标准形 (1)求参数 ，并指出二次曲面 f ( x1 , x2 , x3 ) = 10 所属的 求参数a 求参数
曲面类型; 曲面类型 (2)当 x T x = 1 时，求 f 的最大值, 其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T . 当 的最大值
二次型的矩阵表示
a11 = (x1, x2) a12 x1 a11 其 x = ,A= 中 x2 a12
a12 x1 = xT Ax, a22 x2
a12 为 阶 称 阵 , A 二 对 矩 . a22
一般地， 一般地，对n元二次型 元二次型
第5章 二次型
建立了实二次型和实对称矩阵之间的 对应关系； 对应关系；从矩阵变换和函数化简两个角 度给出了二次型标准化的三种方法，进一 度给出了二次型标准化的三种方法， 步得到了二次型的规范形； 步得到了二次型的规范形；并对正定二次 型和正定矩阵的判别进行了讨论． 型和正定矩阵的判别进行了讨论．
第5章 二次型
λ1 λ2 T 求正交矩阵Q， ②求正交矩阵 ，使得 Q AQ = Λ = O λn
为对角阵； 为对角阵； ③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy . 正交变换 化二次型为标准形
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a11x12 a12x1x2 a13x1x3 a1n x1xn a21x2 x1 a22x22 a23x2 x3 a2n x2 xn a31x3 x1 a32x3 x2 a33x32 a3n x3 xn an1xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ann xn2
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
( x1 x2 2 x3 )2 ( x2 x3 )2 6 x32
第5章 二次型
二次型与对称矩阵 二次型的标准化 惯性定理 二次型的规范形 正定二次型 Mathematica软件应用
第5.1节 二次型与对称矩阵
二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或 二次曲面方程为标准形问题. 这里首先介绍一些 基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一 个二次型化成标准形.
Q–1AQ= QT AQ =Λ 为对角阵. 将此结论应用于二次型，有如下结论
定理 任意n元实二次型 f=xTAx，都可经正交变换
x＝Qy化为标准形
f 1 y12 2 y22
1
n yn2
yT
y
n
这里1 , 1 ,n为A的全部特征值.
用正交变换化二次型为标准形的步骤： ①写出二次型 f 的矩阵A；
令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1
1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有 保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为 正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
x1(a11x1 a12 x2 ) x2 (a12 x1 a22 x2 )
(
x1
,
x2
)
a11x1 a12 x1
a12 x2 a22 x2
二次型的矩阵表示
(
x1
,
x2
)
a11 a12
a12 a22
x1 x2
xT
Ax,
ann xn2
称为n元二次型，简称二次型. aij (i, j 1,2,, n)
称为二次型的系数.
定义2 （二次型的标准形） 只含有平方项的二次型，即
f ( y1 , y2 , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
称为标准形. 例如：
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1 x2 4x1 x3
1
②求正交矩阵Q，使得
QT AQ
2
n
为对角阵；
③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy .
例1 求一个正交变换x＝Qy把二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1 x3
化为标准形.
解 (i)二次型 f 的矩阵为
其次，给出矩阵合同的概念．
对n元二次型，我们关心的主要问题是：寻找 可逆的线性变换x=cy，使
f (x1, x2, , xn ) xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC) y yT y 为标准型.其中
为对角阵.
CT AC
将上式中A和满足的特殊关系一般化，有以下定义:
令
y1 x1 y2
(2)当 xT x 1时，求 f 的最大值, 其中 x (x1, x2 , x3 )T .
2 0 0
解 (1)二次型 f 的矩阵为
A
0
3
a .
0 a 3
经正交变换标准化后，二次型标准形的平方项系数
是矩阵A的全部特征值,根据特征值的性质，有
| A | 2(9 a2) 1 25 10
解得 a 2. 又a 0,得a 2.
通过正交变二次曲面方程
f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3 10
化简为 y12 2 y22 5 y32 10, 这是一个椭球面，所以曲面
f (x1, x2, x3) 10也是一个椭球面.
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3
3
3
,
2
,
2
2
2
1
1 1
2 2
1 0 1
其中x
x1 x2
,A
a11 a12
a12 a22
,
A为二阶对称矩阵.
一般地，对n元二次型
f (x1, x2 ,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
设二次型经正交变换x＝Qy化为标准形，则
当xT x1时
xT x yT QT Qy = yT y 1
从而
y1
f
y12
2 y22
5 y32
5 y12
5 y22
5 y32
5( y1,
y2 ,
y3
)
y2
5
yT
y
5.
y3
2. 配方法 例3 用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性
0 1 0
单位化
q1
1 1
1
2
0 , q2
1 2
2 2
1
2
0 ,
1 2
q3
3 3
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
(iv)写出正交变换
1
2
1 2
0
二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的.
例1 写出二次型的矩阵表示
(1) f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1 x2 3x2 x3
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 4 x32
解
1
(1)
f
(
x1 ,
x1
a2n
,
x
x2
则
ann
xn
f ( x1, x2 ,, xn ) xT Ax 二次型的矩阵表示
由于aij aji ,于是A AT ,即A为对称矩阵.
二次型f 与实对称矩阵是一一对应的.
称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩.
a11 a12 a1n x1
(
x1
,
x2
,,
xn
)
a21
a22
a2n x2
an1 an2 ann xn
a11 a12
令aij
a
ji
,
A
a21
a22
an1 an2
a1n
y yT y (Qx)T (Qx) xTQTQx xT x x
所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变．
例2 已知二次型
f (x1, x2, x3) 2x12 3x22 3x32 2ax2x3(a 0)
通过正交变换化为标准形 f y12 2 y22 5 y32. (1)求参数a ，并指出二次曲面f (x1, x2, x3) 10 所属的 曲面类型;
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
( x1 x2 2 x3 )2 ( x2 x3 )2 6 x32
第5章 二次型
二次型与对称矩阵 二次型的标准化 惯性定理 二次型的规范形 正定二次型 Mathematica软件应用
第5.1节 二次型与对称矩阵
二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或 二次曲面方程为标准形问题. 这里首先介绍一些 基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一 个二次型化成标准形.
Q–1AQ= QT AQ =Λ 为对角阵. 将此结论应用于二次型，有如下结论
定理 任意n元实二次型 f=xTAx，都可经正交变换
x＝Qy化为标准形
f 1 y12 2 y22
1
n yn2
yT
y
n
这里1 , 1 ,n为A的全部特征值.
用正交变换化二次型为标准形的步骤： ①写出二次型 f 的矩阵A；
令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1
1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有 保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为 正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
x1(a11x1 a12 x2 ) x2 (a12 x1 a22 x2 )
(
x1
,
x2
)
a11x1 a12 x1
a12 x2 a22 x2
二次型的矩阵表示
(
x1
,
x2
)
a11 a12
a12 a22
x1 x2
xT
Ax,
ann xn2
称为n元二次型，简称二次型. aij (i, j 1,2,, n)
称为二次型的系数.
定义2 （二次型的标准形） 只含有平方项的二次型，即
f ( y1 , y2 , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
称为标准形. 例如：
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1 x2 4x1 x3
1
②求正交矩阵Q，使得
QT AQ
2
n
为对角阵；
③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy .
例1 求一个正交变换x＝Qy把二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1 x3
化为标准形.
解 (i)二次型 f 的矩阵为
其次，给出矩阵合同的概念．
对n元二次型，我们关心的主要问题是：寻找 可逆的线性变换x=cy，使
f (x1, x2, , xn ) xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC) y yT y 为标准型.其中
为对角阵.
CT AC
将上式中A和满足的特殊关系一般化，有以下定义:
令
y1 x1 y2
(2)当 xT x 1时，求 f 的最大值, 其中 x (x1, x2 , x3 )T .
2 0 0
解 (1)二次型 f 的矩阵为
A
0
3
a .
0 a 3
经正交变换标准化后，二次型标准形的平方项系数
是矩阵A的全部特征值,根据特征值的性质，有
| A | 2(9 a2) 1 25 10
解得 a 2. 又a 0,得a 2.
通过正交变二次曲面方程
f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3 10
化简为 y12 2 y22 5 y32 10, 这是一个椭球面，所以曲面
f (x1, x2, x3) 10也是一个椭球面.
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3
3
3
,
2
,
2
2
2
1
1 1
2 2
1 0 1
其中x
x1 x2
,A
a11 a12
a12 a22
,
A为二阶对称矩阵.
一般地，对n元二次型
f (x1, x2 ,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
设二次型经正交变换x＝Qy化为标准形，则
当xT x1时
xT x yT QT Qy = yT y 1
从而
y1
f
y12
2 y22
5 y32
5 y12
5 y22
5 y32
5( y1,
y2 ,
y3
)
y2
5
yT
y
5.
y3
2. 配方法 例3 用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性
0 1 0
单位化
q1
1 1
1
2
0 , q2
1 2
2 2
1
2
0 ,
1 2
q3
3 3
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
(iv)写出正交变换
1
2
1 2
0
二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的.
例1 写出二次型的矩阵表示
(1) f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 2x1 x2 3x2 x3
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 4 x32
解
1
(1)
f
(
x1 ,
x1
a2n
,
x
x2
则
ann
xn
f ( x1, x2 ,, xn ) xT Ax 二次型的矩阵表示
由于aij aji ,于是A AT ,即A为对称矩阵.
二次型f 与实对称矩阵是一一对应的.
称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩.
a11 a12 a1n x1
(
x1
,
x2
,,
xn
)
a21
a22
a2n x2
an1 an2 ann xn
a11 a12
令aij
a
ji
,
A
a21
a22
an1 an2
a1n
y yT y (Qx)T (Qx) xTQTQx xT x x
所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变．
例2 已知二次型
f (x1, x2, x3) 2x12 3x22 3x32 2ax2x3(a 0)
通过正交变换化为标准形 f y12 2 y22 5 y32. (1)求参数a ，并指出二次曲面f (x1, x2, x3) 10 所属的 曲面类型;