时域有限差分法

1.1 差分近似（4）
应当注意，在一般情况下(1-6)对时间或空间具有二阶精度。但对
于 ct x 1 的特殊情况，根据解(1-2)，可以证明
4u x4
,tn
c4 4u t4
xi,
于是 c 2 O x 2 c 1 x 2 2 x 4 u 4,tn 1 t2 2 t 4 4 u x i, O t2
•
取
ct x，x0 则
2
20
v~p 0.996c9。这时数值相速的相对
误差为0.31，减少了4倍。同样，当物理波传播了同样的 100 时
(200空间格)，数值模拟传播了199.378格，相位误差为11.1960，也
减少了4倍。误差减少了4倍反映了差分算法是二阶精度的。
1.3 数值相速（2）
• 情况1：非常细网格 t 0 , x 0
1.1 差分近似（2）
于是，有
x 2u 2xi,tnuin 1 2 u xin 2uin 1O x2
(1-4）
同理，有
t22 uxi,tnuin 12 u ti2 nuin 1O t2
(1-5）
上式称为二阶偏导数的二阶中心差分格式。
将它们代入(1-1)，得
uin1c xt2uin12uinuin1 2uinuin1 （1-6）
t2c2Ox2 Ot2
忽略高次项，便可得到求解的差分迭代公式。
1.1 差分近似（3）
n=0 在所有空间点给uin, uin-1(i=1:imax)赋初值
n=n+1
由(1-6)在所有空间点求uin+1(i=1:imax)
No n>nmax? Yes 结束
图1.1 一维波动方程FDTD流程图
vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi,tn,离散行波解为 u in u x i,tn e j n t k ~ i x ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
考虑(1.1)的正弦行波解 ux,tejtkx 代入(1-1)得
j2c2jk2 即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
由(1-8)可以得到群速关系
• 80年代后期，随着高速大容量计算机的普及，FDTD法 得到了迅速发展。如今已应用于涉及波动现象的任何 领域。至今，FDTD法的研究与应用仍方兴未艾。
引言（2）
• 本课程采用研讨班形式。教师讲授FDTD的基本知识， 学生针对某一方向进行较深入的研究。
• 本讲我们考虑描述波动现象的最基本偏微分方程：一 维 标 量 波 动 方 程 的 数 值 FDTD 解 ， 为 以 后 二 维 、 三 维 Maxwell方程的FDTD分析奠定基础
所以，（1-6）中的两个剩余项抵消，得到了精确的数值差分公式
uin 1uin 1uin 1uin 1
（1-7）
正因为有这样的奇妙特性，ct x 1为“魔时间步”(Magic time
step).
1.2 数值色散关系(1)
色散关系定义为行波的波长随频率的变化关系。为方便起见， 色散关系也常表示为行波的波数关于角频率的变化关系。
k~ 1xco1s 1c xt2cost1
（1-13）
可见数值相速与频率有关。因此，由FDTD得到的数值波是色散的。
• 取 ct 2x，x100则数值相速为v~p 0.987c3。相对误差为
-1.27%。如果物理波传播了100 距离(100空间格)时，数值模拟波只
传播了98.73空间格，相位误差为45.720。
1.1 差分近似（1）
一维标量波动方程
2u c2 2u
t 2
x2
上式的解为 uF (xc) tG (xc)t
（1-1） （1-2）
采用Taylor 展开
u
x2 2u
u(xi x,tn)uxi,tn
x x
xi,tn
2!
x2
x3 3u
x4 4u
xi,tn
（1-3）
3! x3 xi,tn 4! x4 1,tn
时域有限差分法
第1讲 一维标量波动方程
引言（1）
• 1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了FiniteDifference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱 电磁散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这 一方法并未引起重视。
• 1972年,A.Taflovey应用FDTD研究了UHF和微波对人类 眼睛的穿透，以了解“微波白内障”的成因。Taflove 成功地应用和发展了Yee的FDTD算法。
• 课程内容取自下列的参考书和近年来相关的一些文献
[1]A.Taflove,CompuBaidu Nhomakorabeaational Electrodynamics • The FiniteDifference Time-Domain Method, Artech Hourse，1995.
[2]高本庆，时域有限差分法，国防工业出版社，1995. [3]葛德彪，闫玉波，电磁场时域有限差分法，西电出版社，2002
所以，v~p vp
c 。可见，魔时间步下差分解与精确解相同。
1.4 数值群速
根据 cox s1x22,当 x 0，数值色散关系(1-12)变为
1 2t2c xt21k ~ 2x211
即，2c2k~2 ，最后得
~ k
k
，于是有
c
v~p vp
。
所以，在非常细的网格条件下，差分解逼近精确解。
• 情况2： 魔时间步 ctx
(1-12)变为 co ts co k ~ x s,即tk~x， k~k 。
将上式代入差分方程(1-6),得
ej t c t 2e jk ~ x 2 ejk ~ x2 e j t x 重新组合并应用 Euler恒等式，最后得到数值色散关系为
costct2cok~ sx11 x
(1-11) (1-12)
1.3 数值相速（1）
类似于(1-9)，定义数值相速为 v~p k~ 由（1-12）可得