上海教材八年级第十九章几何证明知识整理

上海教材八年级第十九章 几何证明知识整理

一、知识梳理：

重要定理：

★线段的垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 如图： ∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图： ∵PA=PB

∴点P 在线段AB 的垂直平分线上

★角平分线

定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图： ∵OP 平分∠AOB

P D ⊥OA ，P E ⊥OB

∴PD=PE

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 如图： ∵PD=PE

P D ⊥OA ，P E ⊥OB

∴OP 平分∠AOB

★基本轨迹

轨迹1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。 轨迹2：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。 轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。

★直角三角形的全等判定 直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。（H.L ）

★直角三角形的性质及判定

定理1：直角三角形的两个锐角互余。

如图： ∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如图： ∵∠ACB=90°，

且点D 是AB 的中点

∴AB CD 2

1

（CD=AD=BD ，或AB=2CD ） M N

B

A

P

A

B O

D

E

P

B B

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如图： ∵∠C=90°，∠A=30°

∴AB BC 2

1

=

推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°。

如图： ∵∠C=90°，AB BC 2

1

=

∴∠A=30°

★勾股定理及逆定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 如图： ∵∠C=90°，

∴2

2

2

AB BC AC =+ （2

2

2

c b a =+）

勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

如图： ∵2

2

2

AB BC AC =+， ∴⊿ABC 是RT ⊿，且∠C=90°

★两点之间的距离公式：

若A （1x ，1y ）B （2x ，2y ），则AB=2

212

21)()(y y x x -+-

二、基础训练

命题

1、等腰三角形的底角相等的逆命题是

2、下列说法正确的是（ ）

A 、每个定理都有逆定理

B 、真命题的逆命题是真命题

C 、假命题的逆命题是假命题

D 、每个命题都有逆命题 轨迹

1、到定点A 的距离为4cm 的点的轨迹是 。

2、经过点P 、Q 的圆的圆心轨迹是 。（怎样画）

3、到∠AOB 的两边距离相等的点的轨迹是 。（怎样画）

线段的垂直平分线 1、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，AB=8cn ，BC=6cm ，则⊿BCD 的周长是 。

2、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，AB=16cm ，且

⊿BCD 的周长是30cm ， BC= 。

B

3、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，∠A=30°，则∠BCD= 度。

角平分线 1、如图，在R T ⊿ABC 中，∠B=90°，AD 平分∠BAC ，若AC=8，BD=3，则⊿ADC 的面积为 。

直角三角形有关内容 1、在R T ⊿ABC 中，∠A=90°，∠B=35°，则∠C= 度。

2、直角三角形中斜边上的中线和高分别为8cm 、5cm ，则面积为 。

3、直角三角形中，如果斜边和斜边上的中线的和为24cm ，则斜边长为 。

4、在R T ⊿ABC 中，∠A=90°，BC=8，AC=4，则∠C= 度。

5、直角三角形中两直角边的长分别为5、12，那么斜边上的中线为 。

6、在R T ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∠ACD=30°，

若AD=4cm ，则AB= cm 。

7、如果等腰三角形底边上的中线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为 度，底角为 度。

8、如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为 度，底角为 度。

9、已知两点)1,1(,)3,2(--B A ，则AB= 。

10、已知，在⊿ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高AD=12，BC 的长是

三、解答题

1、在直角坐标平面内，点A 坐标为)3,1(，点B 坐标为)2,2(-，点C 坐标为)4,0(-， 1）判断⊿ABC 的形状，并说明理由； 2）求BC 边上中线的长。

2、已知A 、B 两点的坐标分别为)1,4(,)2,1(，在x 轴上找一点C ，使得∠ACB=90°，求点C 的坐标。

C

D