北京中考数学题新定义综合练习

寒假作业之新定义

1．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）

（x ≥0）的每一个整数点，给出如下定义：

如果P 也是整数点，则称点'P 为点P 的“整根点”．

例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.

（1）点A （4，8），B （0，16），C （25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的

坐标；

（2） 如果点M 对应的整根点'M 的坐标为（2，3），则点M 的坐标；

（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0y ax x a =+≠），如果在第一象限内的二次函

数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个 请求出实数a 的取值范围.

备用图

2..如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB 上存在

两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．

（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-32

5

, ，F （0，

32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；

②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围； （2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段

a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．

3. 若抛物线L ：()02≠++=abc c b a c bx ax y 是常数，且，，与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称此抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”.

(1) 若“路线”l 的表达式为42-=x y ，它的“带线”L 的顶点在反比例函数x

y 6=(x ＜0)的图

象上，求“带线”L 的表达式；

(2)如果抛物线122-+-=m mx mx y 与直线1+=nx y 具有“一带一路”关系，求m,n 的值； (3)设(2) 中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为A . 已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标.

备用图

4．在平面直角坐标系xOy 中，定义点P （x,y ）的变换点为P ′(x+y, x-y)．

(1)如图1，如果⊙O 的半径为

①请你判断 M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O 的位置关系；

②若点P 在直线y=x+2上，点P 的变换点P ′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围.

(2)如图2，如果⊙O 的半径为1,且P 的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．

5.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，若,P Q 为某个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与x 轴平行，则称该菱形为点,P Q 的“相关菱形”，下图为点,P Q 的“相关菱形”的示意图．

（1）已知点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()3,4，且点,A B 的“相关菱形”为正方形，则此

“相关菱形”的周长为__________；

（2）若点C 的坐标为(，点D 在直线y =且,C D 的“相关菱形”有一个内角为60o ，求点D 的坐标；

（3）⊙O M 的坐标为,m m ⎛ ⎝⎭

（其中0m >）

，若在⊙O 上存在一点N ，使得点,M N 的“相关菱形”有一个内角为60o ，直接写出m 的取值范围．

6.阅读材料：

①直线l 外一点P 到直线l 的垂线段的长度，叫做点P 到直线l 的距离，记作d （P ，l ） ②两条平行线1l ，2l ，直线上1l 任意一点到直线2l 的距离，叫做这两条平行线1l ，2l 之间的距离，记住d （1l ，2l ）；

③若直线1l ，2l 相交，则定义d （1l ，2l ）=0

④对于同一条直线l ，我们定义d （l ，l ）=0。

对于两点1P ，2P 和两条直线1l ，2l ，定义两点1P ，2P 的“1l ，2l —相关距离”如下：d （1P ，

2P 1l ，2l ）=d （1P ，1l ）+d （1l ，2l ）+d （2P ，2l ）设1P （4，0），2P （0，3），1:l y x =，2:l y =，

3:l y kx =，'4:l y k x =，解决以下问题：（1）d （1P ，2P 1l ，1l ）=____________，d （1P ，2P 1l ，2l ）=_______________

（2）①若k >0，则当d （1P ，2P 3l ，3l ）最大时，k =_________；

②若k <0，试确定k 的值使得d （1P ，2P 3l ，3l ）最大。

（3）若'0k k >>，且，3l ，4l 的夹角是30°，直接写出d （1P ，2P 3l ，4l ）的最大值________。

7.平面上有两条直线A B 、CD 相交于点O ，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：

①点O 的“距离坐标”为（0，0）；

②在直线CD 上，且到直线AB 的距离为p （p ＞0）的点的“距离坐标”为（p ，0）；在直线AB 上，且到直线CD 的距离为q （q ＞0）的点的“距离坐标”为（0，q ）；

③到直线AB 、CD 的距离分别为p ，q （p ＞0，q ＞0）的点的“距离坐标”为（p ，q ）． 设M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m ，n ），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

（1）画出图形（保留画图痕迹）：