八年级数学下册 一次函数与二元一次方程的关系教案

21.5 一次函数与二元一次方程的关系

1．掌握一次函数与方程的关系；(重点)

2．综合应用一次函数与方程关系解决

问题．(难点)

一、情境导入

下面三个方程有什么共同点和不同

点？你能进行解释吗？

(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝

－1.

能从函数的角度解这三个方程吗？

二、合作探究

探究点一：一次函数与一元一次方程

一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，

且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可

求得关于x的方程kx＋b＝0的解为()

A．x＝－1B．x＝2

C．x＝0D．x＝3

解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，

1)，∴

⎩⎪

⎨

⎪⎧b＝1，

2k＋b＝3，

解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧b＝1，

k＝1，

∴一次函数

解析式为y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.

故选A.

方法总结：当某个一次函数的值为0时，

求相应的自变量的值．从图象上看，相当于

已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的

横坐标的值．

探究点二：一次函数与二元一次方程

(组)

直角坐标系中有两条直线：y＝

3

5x

＋

9

5，y＝－

3

2x＋6，它们的交点为P，第一条

直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点

B.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)用图象法解方程组

⎩⎪

⎨

⎪⎧5y－3x＝9，

3x＋2y＝12；

(3)求△P AB的面积．

解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即

可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐

标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程

组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的

面积公式列式计算即可得解．

解：(1)令y＝0，则

3

5x＋

9

5＝0，解得x＝

－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－

3

2x

＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，

0)；

(2)如图所示，方程组的解是

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＝2，

y＝3；

(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△P AB＝

1

2

×7×3＝

21

2.

方法总结：本题考查了二元一次方程

(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对

应点分别在两条直线上，所以作出两个二元

一次方程所对应的两条直线，求出交点，则

交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组

的解．

探究点三：运用一次函数与方程解决实

际问题

某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：

(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；

(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．

解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．

解：(1)设方案一的解析式为y＝kx，把(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方案一y关于x的解析式为y＝40x；设方案二的解析式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得

⎩⎪

⎨

⎪⎧b＝600，

40a＋b＝1400，

解得⎩⎪

⎨

⎪⎧a＝20，

b＝600，

∴方案二y关于x的解析式为y ＝20x＋600；

(2)根据两直线相交可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．

方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

三、板书设计

1．一次函数与一元一次方程的关系

2．用图象法求二元一次方程组的解

3．应用一次函数与方程解决实际问题

在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要．本节课是在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展．课堂教学充分体现了新课标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生．